tz. 1. Die Proportionen
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dratwnrzel des Products derselben. Wenn U das geometrische Mittelzwischen ^4 und L bedeutet, so ist (5)
r/ ---- -4 z, : /t.
Die Gleichung von Verhältnissen ^l : U — z/ : wird „eine geome-trische Proportion" genannt, und zwar „stetig" mit Rücksicht darauf,daß die dritte Größe der zweiten gleich ist. Daher sagt man auch„geometrische mittlere Proportionale" für geometrisches Mittel.
Das harmonische Mittel zwischen zwei Größen ist die Größe,deren Reciprokes das arithmetische Mittel zwischen den Reciproken derGrößen ist, wobei unter dem Reciproken der Größe das Verhältniß derEinheit zur Größe verstanden wird (5). Wenn 2 das harmonische Mit-tel zwischen ^4 und S, w und U das arithmetische und das geometrischeMittel zwischen denselben Größen bedeuten, so ist
/4 -s- L
^4 — L: s — /s --- /l : L, w : — z/ : 2 .
Ebenso versteht man nnter dem arithmetischen Mittel zwischen n Größen den«ten Theil ihrer Summe, nnter dem geometrischen Mittel zwischen denselben die -NeWurzel ihres Products, unter dein harmonischen Mittel zwischen denselben die Größe,deren Reciprokes das arithmetische Mittel zwischen den Reciproken der Größen ist.„Harmonisch" heißt Überhaupt eine Reihe von Gliedern, deren Reciproke eine arith-metische Progression bilden sAllg. Arithm. Z. 28, 5), zufolge ihrer Anwendung beider Theorie der Tonleitern.
litt. Das geometrische Mittel zwischen zwei Größen ist kleiner alsdas arithmetische Mittel; die Differenz beträgt weniger als das Qua-drat der Differenz der Größen dividirt durch die 8fache kleinere Größe*-,-s- S) — — -/L)?
^ (^ - L)2 - L-?
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Ueberhaupt wird das Product der Theile einer gegebenen Summe amgrößten, wenn die Theile einander gleich sind. Denn das Prodnci derungleichen Theile läßt sich vermehren, indem man zwei ungleiche Theiledurch gleiche, nämlich jeden durch ihr arithmetisches Mittel ersetzt.
Dagegen wird die Summe der Factoren eines gegebenen Productsam kleinsten, wenn die Factoren einander gleich sind. Betrüge dieSumme der gleichen Factoren ebensoviel oder mehr als die Summeder ungleichen Factoren, so wäre das erstere Product größer als dasletztere, gegen die Voraussetzung.
0 Iientberic tkei'ss. H.nn. 2k p, 84.