§. 3. Die analytische Methode.
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§.3. Die analytische Methode.
1. Das allgemeinste Verfahren, mathematische Aufgaben zu lösen,besteht darin, daß man zuerst die gestellten Fragen mit einer oder meh-reren Unbestimmten vorläufig beantwortet, als ob die Aufgabe gelöstwäre. Diese Unbestimmten heißen die Unbekannten der Aufgabe.Dann werden die Daten der Aufgabe (die gegebenen Größen) durchdie Unbekannten ausgedruckt, und die gefundenen Formeln (Funktio-nen der Unbekannten) den Werthen welche sie haben sollen gleich-gesetzt. Endlich berechnet man soweit es möglich ist, die Unbekanntenaus den gebildeten Gleichungen.
Dieses indirecte Verfahren, welches mit unwesentlichen Verände-rungen auch zur Erfindung von geometrischen Constructionen gebrauchtwird, ist aus dem Alterthum unter dem Namen Analysis*), ana-lytische Methode bekannt.
Beispiel 1. Eine Gesellschaft von 90 Personen enthält 4 Män-ner mehr als Frauen, 10 Kinder mehr als Erwachsene. Aus wievielMännern, Frauen, Kindern besteht die Gesellschaft?
Die Gesellschaft enthält a- Frauen, folglich w 4 Männer,2cr -s- 4 Erwachsene, 2a- 14 Kinder; zusammen 4a- 18 Perso-
nen. Sie soll 90 Personen enthalten; also setzt man
4« -j- 18 -- 90.
Aus dieser Bedingung folgt 4a- — 72, m ---- 18, d. h. die Gesellschaftbesteht aus 18 Frauen, 22 Männern, 50 Kindern.
Beispiel 2. Man gewinnt Procent an einer Waare, die manfür m Thaler verkauft. Wieviel Procent gewinnt man, wenn man dieWaare für m Thaler verkauft?
') Ueber die analytische Methode, als deren Erfinder im Alterthum Plato ge-nannt wird, handeln Euclides (LIsm. 13 zu Anfang und Data, deutsch vonSchwab 1786), Pappus 6oI1. mntlr. 7, Bieta Iss-KOAS in nrtsm nnnsttienm,Newton ^ritdm. rmiv. sä. 6rnve8snäs p. 64, u. A. Vergl. K lüget Math.W. I x. 86. Berechnungen nach analytischer Methode hat im Alterthum hauptsäch-lich Diophantns gelehrt. Im Beginn der neuern Zeit unterschied man nrs mi-nor s. urs rsi st risnsus — die Unbekannte hieß rss, essn und ihr Quadrat risn-8N8, vergl. Allg. Arithm tz. 6 — und ars irmAim ,,gnnm vulxo cossnm vocsmtsive reAnlL8 n1ssebrLieg,s" 6nräa,nns Ilr8 mLANN sagi. 1 Zur weitern Bearbei-tung dieses Gebietes, welches die Namen Coß, Algebra bezeichneten, ist die Buchsta-benrechnung ausgebildet worden. Seit Newton und Leibniz kam für die von ih-nen ausgebildete Differential- und Integralrechnung der Name Analysis in Gebrauch.Jetzt versteht man unter Analysis die Theorie der Fnnctionen, unter algebraischerAnalysis oder Algebra die Theorie der algebraischen Fnnctionen.