Z. 6. Die quadratischen Gleichungen.

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reicht die Function — an? -s- -.x -s- 6 ihren größten Werthwenn 2 — ^ 0 d. h. -r--- — .

4ae -s- K2

4^

Anmerkung. Aus denselben Gründen ist die gebrochne Func-tion

-r -s-

qX 2

2 /«,

und erreicht bei positivem 2 ihr Minimum «,

— 0 d. h. 2 — q^a. Vergl. tz. 1 , 10 .

Um die Werthe von 2 zu finden, bei denention

wenn q ^2

die gebrochne Func-

n—4

n? — 32 — 3

ein Maximum oder Minimum erreicht, untersuche man, bei welchen Wer-then von x die Gleichung für 2

^ 2 ^ — (3?/ Z- 1)2 — 3x -s- 4 — 0reale Wurzeln hat. Zur Realität dieser Wurzeln genügt es, daß(3;, X- 1)2 - 4x(4 - 3-/) -- 21x2 ^ 4 - 1 ^ 21(x-z)(x-^)

nicht negativ ist ( 2 , 3). Also bleibt 2 real, während x von «> bis Hfällt und von — «> bis s steigt. An den Grenzen x — j und hat

2 den Werth —d. i. 3 und 5. Folglich erreicht die gebrochne

Function x bei 2 — 3 das Minimum H und bei 2 — 5 das Maxi-mum

3. Die Wurzeln einer quadratischen Gleichung können auch go-niometrisch ausgedrückt werden. Wenn a, S, e positive Zahlen bedeu-ten, so hat die Gleichung

aa? -s- Ü 2 — c — 0 die realen Wurzeln

ö 7 X -s-4ae

2 ^ '

022 -s- Ü2 Z- e

— 0 die realen Wurzeln

— b 4 4^ö2 — 4^62a

oder die complexen Wurzeln

— b 4 4ao — -22a

Für alle Fälle berechne man

so daß ao

>2^2