Z. 7. Die cubischen und biqnadratischen Gleichungen.

249

Diese 2 deutige biquadratische Gleichung für m hat demnach die 8 deutigeWurzel gstr st- gst« -st gstv, wenn r, u, die Wurzeln der Resolvented. i. der cubischen Gleichung z? — st- O-/ — o bedeuten.

Die aufzulösende biquadratische Gleichung stimmt mit der auflös-baren überein unter den Bedingungen

4« — — 2«, 8 b — — 8 g^/, 4e — — 4/?.

Hieraus folgt

ce — — 2a, — äst — e, y —

und die Resolvente der gegebenen Gleichung

r/b st- 2«!/'- st- («2 — c)i/ — ist " 0.

Aus den Wurzeln k, «, v der Resolvente findet man als Wurzeln dergegebenen Gleichung die 4 Werthe der Formel -/r st- gstr- -st g/n,welche der Bedingung gstkqstn g/p — — b genügen.

7 . Die angegebene Resolvente hat mindestens eine positive realeWurzel v, weil die cubische Function st- 2 a^ -st («2 — ^ — 52bei hinreichend großen positiven Werthen von «/ positiv, bei verschwin-dendem r, negativ ist (4-, Wenn die beiden andern Wurzeln k, u derResolvente real sind, so haben sie einerlei Zeichen, weil das Productluv — K 2 positiv ist.

Wenn nun r, u beide positiv sind, so hat die aufzulösende biqua-dratische Gleichung 4 reale Wurzeln. Wenn k, -- beide negativ sind,so hat die Gleichung 2 Paare von complexen Wurzeln. Denn unterder Voraussetzung r — — ^ hat gstt st- gst« die

Werthe

r's- st- r'H, — rp — rb, ip — r'H, — ip st- l/r,während k/u in den beiden ersten Fällen negativ, in den beiden letz-ten Fällen positiv ist.

Wenn aber k, re conjugirt complex sind, so hat die biquadratischeGleichung ein Paar complexs und 2 reale Wurzeln. Denn unter derVoraussetzung

k — 2 p st- 2 r^, r,. — 2 p — 2 ch, 2 -^ — -st st- gst

findet man (Allg. Arithm. tz. 16, 7)

st-p st- stsst-- — p, gst»/. — -stp — rstst7- — p,

und die zusammengehörigen Werthe

gstk -st gstr« ( 2^7- st- p — 2^^ -stp ! 2tst/^r' — p j — 2iP^e' — pg/ tg/ u !j 2 ^ 2 r- ! — 2 o ^ — 2 »'

Die Wurzeln einer allgemeinen Gleichung, deren Grad den 4ten übersteigt, kön-nen irrationale Functioncn der'Coefficienten nicht sein, wie Abel 1825 (Grelle I.1 p. 65) bewiesen hat. Vergl. Wantzel in Serret ^1x. snx. 22. ScheibnerBerichte d. Leipz. Ges. d. W. 1863 p. 63. Daß die allgemeine Gleichung 5ten Gra-des mit Hülfe transscendenter Functionen aufgelöst werden kann, hat Hermite ge-