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Algebra.

Wurzeln der Gleichung die größte ist, weil 1"' — 1 — a negativ,(l -st äst — 1 — 2a positiv ist. Dieser Wurzel nähert man sichdurch die Berechnung von* **) )

1 m _ _

b, 1/ a -st °/a, Sz — V" ^ - ög — a -st t >2 , - - -

Denn es ist > -/a , öz > , öz >. Sz , . . und die Größen

t-i , t -2 , ög , . . bilden eine steigende Reihe. Dabei hat mans>st — öst» — — a<<>.

Also kann keine der Größen , -2 , -g , . . die größte reale Wurzelder Gleichung — w — a — l) übersteigen.

« Die Auflösung einer biquadratischen Gleichung kann aufdie Auflösung der besondern biquadratischen Gleichungst -st 4a,i? st- 8öai st 4« — 0

zurückgeführt werden (l, 2). Die Wurzeln dieser Gleichung lassen sichdurch die Wurzeln einer bestimmten cubischen Gleichung lR eso lv ente)ausdrücken*). Wenn

< st a st ri - - ta st in st av — st, tnv — Z',

so ist

stv — -!)(?/ " B r/b — äst st fir, — /

und die Gleichung st — «st -st st-, — / für die Unbekannte Uhat die Wurzeln st r- , r, (Z. 4, 2). Wenn nunw — sttststustq/st

so findet man

st — st -st 2st^v st 2st^uv

— vst — st -st /

— 2ast — p st — 4st — 0.

*) Lostai lenbamen in elsin. matk. sie. Karos Vasarbolv 1832 t. 1x. 413.

**) Diese Erfindung ist von Ludovico Ferrari gemacht, von Cardano 1545strs niLAns, o. 39) und Bombelli 1579 mitgetheilt worden. Vergl. Klügelmach. W. I x. 38. Den hier eingeschlagenen Weg der Reduction hat Euler 1738(6omin. ststrox. 6 p. 223) angegeben. Die zur Auflösung der biquadratischenGleichung erforderliche cubische Gleichung heißt die Resolvente bei Euler, Reäuitsbei Clairant u. A. Man kann auch aus der vollständigen biquadratischen Glei-chung mit 5 Gliedern eine verkürzte cubische Resolvente mit 3 Gliedern ableiten,welche sich ohne Weiteres auflösen laßt, Vergl. Aronhold Ereile I. 52 st 95.Fiedler Elem. d. Geom. u. Algebra st 163. Bei dieser Reduction ist die Deter-mination weniger einfach.