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Algebra.

8 . Um die Gleichung*) a? 2,2 n 2 2 ^ ganzen Zahlen auf-zulösen, setze man

k'2 -s- «2 — (t -s- r>)2,

wodurch man

»2 - r,2 zj2 -s, r>2

findet. Demnach sind bei rationalen « und v

rr2 — r)2 ^2 r-2

2^ ' 2v

rationale Werthe von w, v, welche der gegebenen Gleichung genügen.Diese Werthe genügen der gegebenen Gleichung auch dann, wenn mansie mit 2v multiplicirt hat; also sind bei ganzen « und «

r<2 — r>2, 2rw, »2 -s- r»2

ganze Zahlen, welche der gegebenen Gleichung genügen.

Haben« und« den gemeinschaftlichen Divisor m, so haben « 2 —?>2,2rw, «2 -j- „2 den gemeinschaftlichen Divisor m2.

Sind « und r, ungerade, so sind «2 „nd «2 ungerade, «2 ^2gerade und «2 — „2 durch 8 theilbar, folglich die Werthe von w, U, sdurch 2 theilbar.

Um also Werthe von w, v zu erhalten, welche einen gemein-schaftlichen Divisor nicht haben, wählt man für« und v Werthe, welcheprim zu einander und nicht beide ungerade sind; z. B.

V

! 1

1 1

. . 2

2

2

. . 3 3

3 . .

u

! 2

4 6

. . 3

5

7

. . 4 8

10 . .

a?

3

15 35

. . 5

21

45

. . 7 55

91 . .

U

4

8 12

. . 12

20

28

. . 24 48

60 . .

5

17 37

. . 13

29

53

. . 25 73

109 . .

Wie man auch

« und v wählen

mag,

so ist eine der

Zahlen a-,

durch

3,

eine derselben durch 4,

ferner eine

der Zahlen -v,

»/, v durch

theilbar, mithin das Product durch 60 theilbar").

Beweis. Nach dem Modul 3 congruiren die Zahlen mit einer

*) Die Pythagoreische Gleichung, deren Auflösung Luel, X, 29. Dsmiun I an-gegeben ist. Daß die Gleichung ^ — r" siir n > 2 in ganzen Zahlen nicht

auflösbar sei, daß also die Summe von zwei nteu Potenzen eine nie Potenz nicht seinkönne, hat Ferm at bemerkt (Observ. nä Dioxin Xritbm. II, 8). Ein allgemeinerBeweis dieser Bemerkung ist zur Zeit nicht bekannt.

") Drsnioie sur los tris-nAiss rsotniiAls8 sn nombres 1676 xrox. 26—30(Xne. Nem. äs Durm t. V). UsrA. 2 lun. 20 x. 212. Crelle I. 5 x. 386.