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Algebra.

L. Aus der Identität (2)

/O) — — «i) . . (27 — a^) --- ^27« -I- -s- . .

erkennt man, daß die Einheit und die Summen der Producte von je1, 2, 3, . . unter den mit den entgegengesetzten Zeichen genommenenWurzeln der Gleichung /(w) — 0 zu einander der Reihe nach sich ver-halten, wie die Coefficienten a^, «„,2, - - der Function*).

Beweis. Das Product (w — «,) . . (w — <^) giebt2?» -s- <^27»'> -j- -j- . . -j- (t,

wenn durch L7^ die Summe der Producte von je K unter den Größen— — «2, . . bezeichnet wird (Allg. Arithm. ß. 27, 1). Also hat

man a„L7^ -- mithin

1 : (7, : (7z : . . — ^ .

Beispiel. Bezeichnet man eine eigentlichere Wurzel von 1 durchy, so sind §2, (,3, . . , ^ djx übrigen >rten Wurzeln von 1. Daherhat man

2?" — 1 — (a7 — ^>)(m — ^>^) . . (27 — 9")

? ^ - Z- y" — 0, s— . . P" — — 1.

Die Summe der reu Wurzeln von 1 ist 0, ihr Product (—

, Die durch die Coefficienten , . . rational ansdrückbaren Größen

L'i, <7z, . . sind symmetrische Functionen der Größen — , — «2, - - (8- 2, 11).

Man hat bemerkt, daß jede symmetrische ganze Function derselben Größen durch jeneCoefficienten rational ausgedrückt werden kann; insbesondere die Summe ihrer 2ten,3ten, . . Potenzen: Girard 1629 (Ktugelmath. W. I x. 56), und allgemein dieSumme ihrer tten Potenzen: Newton (dribbln, univ. x. 192 sä. Im^ä.), Euler(Opuse. vnr. nrx. II x. 108, Nein. äs Lsrlin 1748 x. 234, und anderwärts).

3. Wenn die Function nten Grades

/(n) — ü-^a-n -s- i -s- . . -j- Z- «g

bei mehr als n Werthen von 2: verschwindet, so verschwindet sie iden-tisch d. h. die Coefficienten sind Nullen**).

Beweis. Wenn /(«,) , . . ,/(-^) verschwinden, so hat mandie Identität (2)/(w) --- ^(27 — «^) . . (27 — «^). Wenn zugleichverschwindet, so verschwindet das Product — «1) . .

(«„^1 — «^), also muß ^ O sein. Demnach verschwindet die Func-tion (» — 1)ten Grades ^ -s- -s- . . bei mehr als

n — 1 Werthen von n, folglich ist ---- 0, u. s. w.

*) Dieser Satz ist zuerst von Vieta am Ende der Schrift äs swsnäntions ns-gnnbionnm bemerkt worden.

**) Vergl. Lauchy LnnI nlAsbr. e. IV, 1.