tz. 10. Lehrsätze von den algebraischen Functionen. 273

bei a- — «i verschwinden, während —«2)".. 0 , ——«^)nicht verschwindet.

Beispiele. Die Function 2" — 1 verschwindet bei 2 — / "nach Allg. Arithm. K. 31 , 8 , wenn m eine gerade Zahl ist. DieserWerth ist mdeutig, also hat die gegebene Function n verschiedene

Divisoren ersten Grades, die aus 2 — e' " entspringen, wenn man 0 ,ch- 2 , ^ 4 , . . für m setzt. Nun ist

(2 — e " ) (2 — e — 2 ^ — 22008 ^ -s- 1,

folglich hat die gegebene Function Divisoren zweiten Grades, die aus

a-2 — 2-0008 -s- 1 entspringen, wenn man 2 , 4 , 6, . . für m setzt.

Zu diesen Divisoren kommt der Divisor ersten Grades 2 — 1 fürM — 0, und bei geradem n der Divisor ersten Grades w Z- 1 für

m — rr.

Die Function 2" -s- 1 verschwindet bei 2 — e' ", wenn m eineungerade Zahl ist. Ihre Divisoren zweiten Grades entspringen aus

^2 — 2 -voo 8 ^ -j- 1, wenn man 1 , 3 , 5 , . . für m setzt. Zu diesen

kommt bei ungeradem n der Divisor 2 -j- 1 für M ».

Die Function 2^" — 2 w"eo 8 « -s- 1 hat die Divisoren 2" —

und 2" — ö^>°. Nun ist 2." — e'- durch 2 — e " theilbar, und

« — e^-- hyxch 2 —s " theilbar, wennm eine gerade Zahl be-deutet. Die n verschiedenen Divisoren zweiten Grades der gegebenen

Function entspringen aus 22 — 22008—^ Z- 1, wenn man 0 ,

2 , 4 , . . für m setzt.

Die Formel — 2^ eos^Tr -s- I bedeutet das Quadrat der Seite eines Drei-ecks, in welchem die beiden andern Seiten die Längen 1 und ^ haben und den Win-kel einschließen, der zu 180° das Verhältniß x hat. Daher können die quadratischenDivisoren der Functionen

2 " — 1 , 2 " -s- 1, 2 ?" — 22 » oc>8 cc -s- 1

construirt werden, und sie sind in der That zuerst geometrisch vor der Einführung derPotenzen mit imaginären Exponenten dargestellt worden, die Divisoren von — Iund von -s- I durch Totes (Harmonie inensurnrnm x. 114, Op. xostll. 1722),die Divisoren von ^ 2 » — 2r"oos« -s- I bald darauf durch Moivre (Mso. anal.x. 22).

Ba>tz-r I. 2. Aufl.

18