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Algebra.
/(n) eine Einheit ist, so muß auch der höchste Coefficient von eineEinheit sein; also sind die Wurzeln der Gleichung /O) — 0 entwederganz oder irrational. Vergl. Allg. Arithm. tz. 18, 7. Und wenn derhöchste Coefficient von/O) nicht 1 ist, so erhält man durch die
Substitution « — U: für eine ganze Function von z/ mit
ganzen Coefficienten, deren höchster 1 ist (Z. 7, 1).
7 . Wenn die Function mit ganzen Coefficienten
/O) ---- MN -s- -s- . . «i-v -s- «g
durch die Function ersten Grades mit ganzen Coefficienten a- -fi Sg
theilbar ist und den Quotientengiebt, so hat man identisch
-s- . . -s- -s-
/(L) — -r» -s- ^
S» I
folglich «o — ögSg,
-s- . . -fi
^ -s- bo^o
Also kann -r -fi bo ein
ganzzahliger Divisor von/O) nicht sein, wenn eine der successiven Divisionen
^n-2
"n-3
^n-2
nicht aufgeht (Bezout's Regel, Ülöm. ä'alAödrs).
Wenn /O) den ganzzahligen Divisor a- -s- Sg hat, so sind . . ,/(I) , /(0)durch . . , 1 -s- So ^ ö« , - 1 fi- S» , - -theilbar. Und wenn eine dieser Divisionen nicht aufgeht, so kann /(«-)durch a? -s- So nicht theilbar sein.
Wenn/(-r) den ganzzahligen Divisor 2ten Grades a^-^z^-s-Sghat, so sind . . , /(2) , /(I) , /(0) , /(— 1) , /(— 2) , . . der Reihenach durch die arithmetische Progression 2ter Ordnung. ., 4 -s- 2S^ -j- Sg, 1 -s- s, -s- Sg, So, 1 — Si -s- So, 4 — 2S^ -j- bg, . .theilbar. Daher stelle man die um 4 verminderten Divisoren von /(2),die um 1 verminderten Divisoren von /(I), die Divisoren von /(O), dieum 1 verminderten Divisoren von /(— 1), .. je in eine Zeile: es mußeine arithmetische Progression Iter Ordnung geben, deren Glieder denfolgenden Zeilen angehören, sonst könnte /(«-) einen ganzzahligen Divisor2ten Grades nicht haben(Newton's Regel,Tritium uuiv. x. 37oä.ImAä.).
Wenn /(«, «/) eine homogene ganze Function mit ganzen Coefft-
cienten ist, und wenn z. B. ---2
Sg in />>, 1) aufgeht, so
geht 2-2 -j- s,^ -h- in /<>, z,) auf. Wenn die homogene ganzeFunction /(a-, 2 /, 2 -) mit ganzen Coefficienten durch die Function dersel-ben Art A(«7, ?/, r) theilbar ist, so sind §<0, U, 2 ), 0, 2 -), A(->-, r,, 0)
Divisoren von/(0, 2 -), /O, 0, 2 ), /(«, 0). Aus den Divisoren
dieser letztern Functionen kann man die möglichen Formen von §(-», U, 2 )erkennen. Newton a. a. O. Clairaut Llöw. ä'alAsbrs III.
Wenn aber eine ganze Function mit ganzen Coefficienten durch eine