tz. 10. Lehrsätze von den algebraischen Functionen.
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Function derselben Art nicht theilbar ist, so heißt sie irreductibel.Vergl. Abel Crelle's I. 4 x. 132.
8. In der nach steigenden Potenzen von o geordneten Reihe vonrealen Gliedern
«y -st -st -s- «zZb -s- . .
wird bei hinreichend kleinen Werthen von s jedes Glied größer als dieSumme der folgenden Glieder. Das Zeichen der Reihe stimmt dannmit dem Zeichen des ersten nicht verschwindenden Gliedes überein.
Beweis. Wenn zunächst alle Glieder positiv sind und wenn ?die Grenze ist, welche keiner der Quotienten
6^2 ^k-i-3
-, -,-, . .
übersteigt, so ist
U. s. w., folglich
-s- -s- «^ 2 ^ -st.. < (1 -st -st -st..).
Nimmt man nun - < 1 : 2§, so wird ^ und
1 -st 4- -st 4^2 -st . . < < 2
also
«^2^^ -st . . < v-l .
Wenn unter den Gliedern der Reihe einige verschwinden oder negativsind, so gilt der bewiesene Satz schon bei minder kleinen Werthen von o.
S. Wenn /O) eine Function nten Grades ist, so giebt es n (imAllgemeinen complexe) Werthe «^ , «2 , . . , von w, bei denen dieFunction verschwindet, d. h. die Gleichung »ten Grades /(w) — 0 hatn Wurzeln, die bei besondern Werthen der Coefsicienten nicht alle voneinander verschieden sind*).
Beweis. Die Norm von /(w) kann, so lange sie nicht verschwin-det, durch Veränderung von w vermindert werden; daher kann sie bisauf die Grenze 0 gebracht werden, so daß /(w) verschwindet. Man er-
*) Dieser Fundamentalsatz der algebraischen Analysis, welchen man früher ausbesonderen Fällen erkannt hatte, ist von D'Alembert, Enler, Lagrange zubeweisen versucht worden. Nsin. äs Lsrlln 1746 p 182, 1749 x. 223, 1772 x.222. Den ersten strengen Beweis nebst einer umfassenden Critik der frühern Beweisehat Gauß gegeben. Dsinonstrntio novn tbsoremntis, omnsin knnotionsm etc.Ilslmsbäät 1799. Derselbe hat zwei andere Beweise 1814 und 1815 im 3ten Bandeder Göttinger Commentarien, und eine neue Bearbeitung des zuerst erwähnten Be-weises 1849 im 4ten Bande der Gott. Abhandlungen mitgetheilt. Lege n dre's Be-weis (Ibsoris äss nombrss H. 119), der auf der Verminderung von /(ro) beruht,ist in der hier gegebenen Weise von C auchy (Xnnl. nl^. X) und Sturm (Obognstet XlKödrs Z. 378) bearbeitet worden.