Z. 8. Durchschnitt eines Winkels mit Parallelen.

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heilen hinzugefügt, so daß man z. B. Strecken von 3,13,23,.., 103,..,253 Längeneinheiten auf der 3ten Parallele vorfindet, u. s. w.

2 . Die Schenkel eines Winkels werden von 2 Parallelen so ge-schnitten, daß die Abschnitte des einen Schenkels zu einander der Reihenach sich verhalten wie die zwischen denselben Parallelen enthaltenenAbschnitte des andern Schenkels. Die Parallelen verhalten sich zu ein-

ander der Reihe nach, wie die auf einemSchenkel vom Scheitel bis zu den Par- , ^7

allelen sich erstreckenden Abschnitte (Luel. /

VI, 2). Sind SS", <7<7" parallel, so ist /

AS : s(7 : A6 ----- AS" : S"(7" : A(7", / /

SS" : <7(7 ----- AS: A(7. Z ^

Beweis. Der mte Theil von AS ist in SO entweder »mal ent-halten, oder mehr als »mal und weniger als (» -s- l)mal. Wenn manden mten Theil von AS auf A<7 von A aus (>» -s- » -s- 1)mal abtheiltund durch die Theilpuncte Gerade zieht, die mit SS", (7L"" parallelsind, so schließt man (1), daß S"(7" den mten Theil von AS" ebenfallsentweder »mal enthält, oder mehr als »mal und weniger als (»-s-1)mal.Zugleich ist 7(77 die?»te Parallele im Winkel <7A(7", und (7(7 entwe-der die (m -s- »)te, oder größer als die (« »)te und kleiner als die(m -j- » Z- 1)te. Daher verhalten sich entweder AS : S<7 : A<7 und

AS" : S"(7" : A(7" der Reihe nach wie ?» : » : nr -j- », und SS": 0(7"

----- m : m -s- »; oder es ist zugleich

»:-»<( -8(7 : AS <( » -s- 1 : -»

» : m <(S"0": AS"<( » -s- 1 : -»und

m -s- » : -» <^ AO : AS m -s- » -s- 1 : m

r» -s^ » : »r 00" : SS" <( M -j- » Z- 1 : r».

Diese Begrenzungen gelten für ein beliebig großes m, also sind sowohldie Verhältnisse SO : AS und 77(7 : AS', als auch AO : AS und00" : SS' einander gleich (Algebra Z. 1, 2).

Anwendung. Um die Strecke AS nach einem gegebenen Ver-hältniß innen in 77, oder außen in 77" zu theilen, so daß die Verhält-nisse A77 : AIS und A77" : S77" den gege- ^ s

benen Werth haben, nehme man irgend zwei "^7" 77^

Strecken, deren Verhältniß den gegebenenWerth hat, ziehe in beliebiger Richtung A(7 /

gleich der ersten Strecke, und in derselben ^

Richtung 07) oder in der entgegengesetzten