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Viertes Buch. Planimetrie.

Richtung <7S' gleich der zweiten Strecke. Macht man <77!/ parallel mitSS, <77/' parallel mit S'S, so erhalten die Verhältnisse A7I/:7I/S undA7Ä : S7/' den gegebenen Werth.

Wenn man in dem Parallelogramm AS(7S>durch O eine Gerade zieht, welche die SeiteAS in S, die Diagonale At7 in Ä schneidet,so verhalten sich die Theile AÄ : Ä(7 auf demeinen Schenkel des Winkels Ä, wie die TheileSÄ : ÄS auf dem andern, und wie die Pa-nne AS: AS.

A L

rallelen AS : S<7 d. i.

Wenn dem Dreieck AS(7 das Parallelogramm Ä</ÄS eingeschrie-ben werden soll, dessen Seite Ä<2 auf AS liegt, zu <2/? ein gegebenesVerhältniß hat, und mit ihr einen gegebenen Winkel

.einschließt, so ziehe man <7S , welche mit AS den

gegebenen Winkel bildet, L<7 parallel entgegengesetztmit AS und so lang daß L<7 : <7S den gegebenenWerth hat. Die Gerade AL schneidet S<7 in Ä so,daß ÄS: L(7 und SÄ : <70 den Werth AS: A<7haben. Folglich ist ÄS: L(7 ----- SÄ: <7S undÄS : SÄ ---- L<7 : <7S. Zieht man Ä(7 parallel mit AS in derselbenRichtung, u. s. w., so erhält man ein zweites Parallelogramm, das denForderungen der Aufgabe genügt.

A Ä/1

3. Umgekehrt schließt man: Wenn A, S, <7 und A, S', 6" aufje einem Schenkel so liegen, daß AS : S<7 — AS' : S'<7', so sind dieGeraden SS', <7<7' parallel. Würde AS' von der Geraden, welche mitSS' parallel ist und durch (7 geht, in S' geschnitten, so wäre AS:S<7— AS' : S'S', folglich AS : S<7 von AS' : S'(7' verschieden, gegendie Voraussetzung.

Wenn A, S, <7 auf einer Geraden liegen, SS' und <7<7' parallelsind und von solcher Länge, daß SS' : <7<7' ----- AS : A<7, so liegenauch A, S', <7' auf einer Geraden. Würde <7<7' von der Geraden AS'in L' geschnitten, so Wäre SS' : <7L' ----- AS -. A(7, folglich SS': <7<7'von AS : A<7 verschieden, gegen die Voraussetzung.

Anwendung. Die Gerade, welche die Mitten von zwei Seiteneines Dreiecks verbindet, ist mit der dritten Seite parallel und halb sogroß. Wenn L, Ä die Mitten von S(7, <7A sind, so hat man <7L: LS