tz. 8. Durchschnitt eines Winkels mit Parallelen.

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— SS : SA, also sind SS und AS parallel, und zwar SS : SA ^SS: SA 1 : 2.

Die Mitten der Seiten eines Vierecks sind die Eckpuncte einesParallelogramms. Wenn S, L', S, S', S, S', die Mitten von 7-6,AS, SA, SS, AS, SS sind, so sind SL undS'S' parallel mit AS und halb so groß,folglich ist SSS'L' ein Parallelogramm.

Ebenso bilden die Mitten der Seiten imViereck SSAS das Parallelogramm SSL'S',im Viereck SASS das ParallelogrammSSS'S". Die Parallelogramme, deren Eck-puncte die Mitten der Seiten von den Vier-ecken sind, welche zu demselben System von 4 Puncten gehören (tz. 1,8), sind concentrisch.*) Denn die Mitte von SS' ist zugleich die Mittevon SS' und von

Wenn die Strecken AS und AS, welche einen gemeinschaftlichenAnfang haben, nach dem Verhältniß m : n getheilt sind, so theilen dieStrecken von den Theilpuncten nach den gegenüberliegenden Endpunkteneinander nach dem Verhältniß m : m -s- n.

Denn unter der Voraussetzung AS: SS^

AS : SS --- M : n sind SL und SS pa-rallel und SS: SS — m : m -s- n (2).

Nun ist SS :SS SS: SS --- SS: SS,also haben auch diese letzteren Verhältnisse den ^ ^ ^

Werth m: m -s- n.

Insbesondere theilen die Geraden aus den Mitten der Seiten ei-nes Dreiecks nach den gegenüberliegenden Eckpuncten einander nach demVerhältniß 1 : 2, und gehen deshalb durch einen Punct, den Schwer-punkt gleicher Massen, die in den Eckpuncten vereint sind, und derDreiecksfläche.**)

4. Wenn zwei Gerade von 3 Parallelen geschnitten werden, soverhalten sich die Abschnitte der einen Geraden zu einander der Reihe

*) Vergönne Lnn. äs 1 x. 313.

**) Archimedes' Werke übers. von Nizze x. 10.