Z. 8. Durchschnitt eines Winkels mit Parallelen.

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20/)' -s- 66' -j- SS' -s- 66

W - -z-- -

d. h. der Abstand des Schwerpunkts einesDreiecks von einer Geraden ist das arithmeti-sche Mittel zwischen den Abständen der Eckpunctevon derselben Geraden.*)

8. Umgekehrt schließt man wie oben (3):Wenn ^4, S, 6 und >4', S', 6 auf je einerGeraden so liegen, daß-4S :S6---^'S':S'6,und SS' parallel sind, so ist auch 66'mit ^-4', SS' parallel.

Wenn S, 6 auf einer Geraden in der angegebenen Ordnungliegen, und ^4A', SS', 66 parallel und so groß sind, daß sie derGleichung

^t6 . SS' --- S6. A^4' ^S . 66

genügen, so liegen A', s', 6 auf einer Geraden.

Anwendung. Die Mitten der 3Diagonalen, welche zu einem Systemvon 4 Geraden gehören, liegen auf ei-ner Geraden.**) Sind A6, SO, LSdie Diagonalen der von den Geraden/tS, S6, 6O, O^t gebildeten Vierecke,und zieht man SO mit O^l parallel,so ist (2)

S^

SO

AO

Ö6"

^S — //S

.46

O6'

folglich durch Addition

SS. O6 --- SO. AO -s- OS.

Bezeichnet man durch 4/, O, 0 die Mitten von ^4S, AO, >lS, und

Deshalb hat Carnot (xeoni. äs pos. 269) den Schwerpunkt von Punctenihr Centrum der mittlern Abstände genannt.

**) Diese Eigenschaft des Vierecks ist von Gauß 1810 bemerkt worden (v. Zachmonatl. Corresp. 22 x. 115). Beweise davon findet man Gerg. Lnn. I p. 314.Poncelet xroxr. pros. 164, Kunze Geom. x. 200, und anderwärts. Eine we-sentliche Vervollständigung des obigen Satzes hat Bodenmiller gegeben. Vergl.unten Trigon. tz. 7, 11.