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Viertes Buch. Planimetrie.

zieht durch 21/, 2V, 0 Parallelen mit 22<7, welche 6/), -40, OS in 21/',2V', 0' schneiden, so sind I/', 2V', 0' die Mitten von SO,-40, OS (2),und man hat

OS -- 20/12, OO — 202V, 22S ---- 22V2I2,

OO 22V2V', -1O ^ 221/21/', -4S ----- 200',

demnach

OI2.2V2V' ^ 02V. 2IE -s- 2V21/. 00'.

Zufolge dieser Gleichung liegen -V, 2V', 0' auf einer Geraden.

Bei einem System von 4 Puncten, -4, S, O, O, werde -4O vonSO in S geschnitten, SO von 0-4 in S, OO von -4S in O; dann lie-gen die Mitten von

-4S,

OO,

SS

SO,

-4O,

SO

0-4.

SO,

OS

auf je einer Geraden. Diese 3 Geraden aber gehen durch einenPunct (3).

<i. Die Geraden, welche in einem Dreieck einen Winkel und des-sen Nebenwinkel halbiren, theilen die gegenüberliegende Seite innen undaußen nach dem Verhältniß der den Winkel einschließenden Seiten?)

Beweis. Die Halbirendendes Winkels O und seines Neben-winkels schneiden -4S innen in O,außen in S. Zieht man SS undSO parallel mit OO und OS, sosind sowohl die Winkel OSS undsso gleich, weil sie den gleichenWinkeln -40O und OOS gleichsind, als auch SOO und OSO, weil sie den gleichen Winkeln SOSund SOS gleich sind. Daher find OS und 00 der Seite SO gleich.Nun ist (2)

-4O : OS -40 : OS-4L: SS -40 : OO

Lud. VI, 3, ergänzt von P fleiderer (Apollonins ebene Oerter von R. Sim-sen, übers. von Lamerer 1796 x. 217). Die Theilung einer Strecke innen und au-ßen nach demselben Verhältniß heißt eine Theilung derselben in proportionale Seg-mente (Carnvt Ksoin. cks pos. 225), oder besser eine harmonische Theilung der-selben, weil -12-,' — -12t: -16—-12) — -tL: -12), d. h. -1S das harmonischeMittel zwischen -12) und -1S ist (Algebra §. 1, 9). Die Paare -1 und L, 2) undS heißen harmonische Puncte nach Brianchon llZnss äu 2. orärs, 1817. V.