Z. 8. Durchschnitt eines Winkels mit Parallelen.

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folglich

AS : SS --- AL : SS ---- AO: SO.

Umgekehrt schließt man: Wenn S die Seite AS so theilt, daßAS : SS — AO : so, so halbirt os den Winkel AOS oder dessenNebenwinkel, je nachdem S von AS eingeschlossen ist oder nicht. Ge-setzt, 0// halbirte den Winkel, so Wäre AS: SS ----- AO : SO, folglichAS : SS von AO : SO verschieden, gegen die Voraussetzung.

!

Jeder Punct, dessen Abstände von zwei gegebenen Puncten ein ge-gebenes Verhältniß haben, liegt auf dem Kreise, der die Strecke dergegebenen Puncte innen und außen nach dem gegebenen Verhältniß nor-mal schneidet.*) Sind A und S die gegebenen Puncte, O und L die-jenigen unter den gesuchten Puncten, welche auf der Geraden AS lie-gen, und ist 0 einer unter den übrigen gesuchten Puncten, mithinAS : SS, AS : SS, AO : so dem gegebenen Verhältniß gleich, sowird der Winkel AOS und sein Nebenwinkel von OS und OL halbirt.Folglich ist der Winkel SOS recht, und O liegt auf dem Kreise, dessenGegenpuncte S und L sind (Z. 4, 3). Wenn das gegebene Verhältnißden Werth 1 hat, so ist S die Mitte von AS, s unendlich fern, derunendlich große Kreis eine Gerade (Z. 6, 7).

Es giebt zwei Puncte von solcher Lage, daß ihre Abstände von 3gegebenen Puncten gegebene Verhältnisse haben. Diese Puncte sind 3bestimmten Kreisen gemein; sie können in besondern Fällen sich in einenPunct vereinen oder ganz verloren gehn.

7. Jeder Punct, aus dem an zwei gegebene Gerade in gegebenenRichtungen Strecken von gegebenem Verhältniß gezogen werden können,liegt auf einer von zwei bestimmten Geraden, die durch den gemein-schaftlichen Punct der gegebenen Geraden gehen.**)

*) Dieser Kreis ist zuerst von Apollonius im 2ten Buch der „ebenen Oer-ter" bewachtet worden, wrePappus in der Einleitung zum 7ten Buch seiner Samm-lung x. 247 berichtet. Vgi. Apollonius ebene Oerter von Simson, übers. von Ca-merer 1796 x. 211 und Chasles s-persu bist. x. 620 d. Uebers.

**) Apollonius im Iten Buch der ebenen Oerter. Vergl. Camerer's Ueber-setzung der Simson'schen Bearbeitung x. 77. Die Theilung des Winkels SOS durchdie Geraden 06, 06' wird eine harmonische genannt. Die Geraden -1S, <7S;06, 06' heißen Harmonicalen (Lahire 8eot. eouiguW I p. 5) oder harmonisch,kumesLu lmrmouigus sBrianchon ligues äu 2. orärs, V).