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Viertes Buch. Planimetrie.

Beweis. Zieht man durch den ge-meinschaftlichen Punct O der gegebenenGeraden AS und SS die Strecken SSund SS, welche die gegebenen Richtungenund das gegebene Verhältniß haben, ziehtman ferner durch S und S die Paralle-len der gegebenen Geraden, die sich inS schneiden, zieht man dann die StreckenSS und S^ an die Geraden AS undSS parallel mit SS und SS, so istSS : SA das gegebene Verhältniß, weilSS — SO, SA — SS als gegenüber-liegende Seiten von Parallelogrammen.Ist nun S irgend ein Punct der GeradenSS, und sind SS, SS parallel mit SS,SS so hat man

SS : SS ^ SS : SS ^ SS : SA (2),

folglich SL : SS --- SS : SS

Die andere Gerade SS', deren Puncte dieselbe Eigenschaft haben,wie die Puncte der Geraden SS, wird gefunden, wenn man SS ent-gegengesetzt so groß macht, als SS, u. s. w.

Wenn die Geraden AS, SS parallel, und aus dem Punct S die

Strecken SS, SA gezogen sind,

s'

in A' schneidet, und durch A' dieund SS in S' schneidet, so hat

so können aus allen Puncten der Ge-raden, welche mit AS parallel durchS geht, Strecken von derselben Rich-tung und von demselben Verhältnißgezogen werden. Es giebt aber nocheine andere Gerade, deren Puncte dieangezeigte Eigenschaft besitzen. Machtman SS entgegengesetzt gleich SA,und zieht die Gerade SS, welche SSGerade, welche mit SS parallel istman

S'S : SS -- S'A : SS ^ S'A : AS,

folglich S"S: S'A — SS: ./S, und es können auch aus allen Punc-ten der Geraden, die mit AS parallel durch S' geht, Strecken von der-selben Richtung und von demselben Verhältniß gezogen werden.

Es giebt überhaupt 4 Puncte von solcher Lage, daß ihre Abstände