ß. 9. Gleichheit der Flächen von Parallelogrammen und Dreiecken. tzZ
von 3 gegebenen Geraden gegebene Verhältnisse haben. Jeder von die-sen Puncten ist 3 bestimmten Geraden gemein, welche die Winkel dergegebenen Geraden theilen. Vergl. tz. 6, 8.
§. 9. Gleichheit der Flächen von Parallelogram-! men und Dreiecken.
1. Die Puncte, welche von einer gegebenen Geraden gleiche Ab-stände haben, liegen auf einer Geraden, die mit der gegebenen Geradenparallel ist, weil die Normalen einer Geraden parallel sind (8- 2, 9.6, 1). Unter dem Abstand paralleler Geraden (Breite desStreifens) versteht man den Abstand eines beliebigen Punctes der einen
' Geraden von der andern. Höhe eines Parallelogramms heißtder Abstand einer Seite von der parallelen Seite, die man als Basisbetrachtet. Höhe eines Dreiecks heißt der Abstand der Spitze vonder als Basis betrachteten Seite. Wenn Parallelogramme oder Drei-ecke von gleicher Höhe sind, und ihre Basen auf einer Geraden liegen,so liegen die gegenüberliegenden Seiten oder die Spitzen aus einer Ge-raden, die mit der ersten Geraden parallel ist.
2. Wenn zwei Parallelogramme (Dreiecke) gleiche Basen undgleiche Höhen haben, so sind sie gleich d. h. sie haben gleiche Flächen,z. B. ALDO und ALDO, ALD und ALL.*)
Beweis. Die Dreiecke DLL und OAL Vsind gleich und ähnlich, Weil DL — DA, ),
SL -- AL und der Winkel DLL — OAL(ß. 5, 1). Durch Subtraktion der gleichenFlächen DLL und OAL von der Fläche ^ ^
ALLO erhält man die gleichen Flächen
ALDO und ALLL. Die Dreiecke ALD und ALL haben gleiche Flä-chen als Hälften der gleichen Parallelogramme ALDO und ALDO( 8 - 6 , 1 ).
Wenn zwei Parallelogramme oder Dreiecke gleiche Basen und un-gleiche Höhen haben, so haben sie ungleiche Flächen. Unter den Drei-ecken, welche zwei Seiten von gegebenen Längen haben, ist dasjenige das
") Luol. I, 3S-42. Man kann zwei Polygone von gleichen Flächen durchGerade so zerschneiden, daß die Stücke beider der Reihe nach gleich und ähnlich sind,wie Gerwien 1833 Lrelle I. 10 p. 228 nachgewiesen bat. Vgl. Göpel Grün.Archiv 4 p. 237.