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Viertes Buch. Planimetrie.

haben; folglich ist -17)6' 67)77, d. h. -47) : 7)6 — 67) : 7)S, oder

67)2 ^ -17). 7)77.

Diese Sätze treffen nach ihrer geometrischen Bedeutung (H. 10,5)mit dem Pythagoreischen Lehrsatz (H. 9, 5) zusammen.

Zusätze. In der Proportion der ähnlichen Dreiecke (1)

-1776 : -47)6: 7)677 -- -47)2 : -162 : 67-2ist -1776 ^ -47)6 -P- 6O77, folglich (Algebra tz. 1, 7) -47)2 ^ -102-j- 6772, in Uebereinstimmung mit dem Pythagoreischen Lehrsatz.

Wenn die rechten Winkel -1677, -4'677', . . von der Normale zu67- begrenzt werden, so hat man wegen der gleichen Products >17-. 7177,-4'7).7)77', . .

7)L: 7)S' --

1

7)-4

1

Ä-1'

d. h. die Strecken 7)L, 7)77', . . verhalten sich zu einander der Reihenach wie die reciproken Strecken 7)-1, 7)-4',... In einem solchen Zu-sammenhange stehn z. B. die Höhen eines Dreiecks und die Seiten, zudenen sie normal sind.

Von jedem Dreiecke läßt sich ein ähnliches Dreieck abschneiden, dasniit dem gegebenen Dreiecke eine Seite und einen Winkel gemein hat.

Die gemeinschaftliche Seite istdas geometrische Mittel zwi-schen den beiden andern Sei-ten, welche auf dem andernSchenkel des gemeinschaftlichenWinkels liegen. Macht manden Winkel -4(77- 677-4, so

ist -467- -4L6, -462 ^

-4S. -17).

Man kann daher das geometrische Mittel zwischen -17- und -46auch dadurch finden, daß man 7-L, 7)L, 6-6 der Strecke -46 gleichmacht. Weil dann 7477 ---- -1L, so ist -1L77 -o -46'L, - 1 / 72 --- -16.-177.

4. Wenn die durch einen Punct gehenden Geraden von einemKreise begrenzt werden, so sind die Producte von solchen Strecken, derenDifferenz oder Summe eine Sehne ist, einander gleich. Ihr gemein-schaftlicher Werth ist in dem ersten Falle das Quadrat der Tangenteaus dem gegebenen Puncte, im zweiten Falle das Quadrat der halbenkleinsten Sehne, welche durch den gegebenen Punct geht, also in jedemFalle die Differenz des Quadrats der Strecke zwischen dem gegebenen