Z. II. Aehnlichkeit der Dreiecke.

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Punct und dem Centrum und des Quadrats des Radius, und heißtdie Potenz des Puncts in Bezug auf den Kreis.*)

Beweis. Wenn die durch A gehenden Geraden den Kreis in Sund S', (7 und 6", schneiden, so sind die Dreiecke AS (7 und A(7S'ähnlich wegen der gleichen Winkel bei Aund wegen der supplementären oder glei-chen Peripheriewinkel auf dem BogenS'<7 (tz. 4, 2). Daher die Proportion

^1 . ^

AS' ' d(7

AS :AL7 ^ AS': dS'

oder die Gleichung AS.AS'—dL7.AL7'.

Wenn der Punct A außerhalb desKreises liegt, so können die Puncte Sund S' in S zusammenfallen, währenddie Gerade ASS' zur Tangente wird,und man hat AS^ — AS.dS', wieauch aus der Aehnlichkeit der DreieckeASS und AS'S sich ergiebt.

Wenn der Punct A im Kreise liegt, und die Gerade ASS' nor-mal zu der nach dem Centrums gehenden Geraden AiU gezogen wird,so ist A die Mitte von SS', und SS' die kleinste unter den Sehnen,welche durch A gezogen werden können (ß. 6, 11). Dann hat manAS. AS' --- AS 2 .

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In dem rechtwinkeligen Dreieck ASUS hat man nach dem Pytha-goreischen Lehrsätze (tz. 10, 5) in dem einen Falle AS2---d4S2—-iiss?,in dem andern Falle AS? --- — AAS? ASS?.

Umgekehrt schließt man: Wenn auf den Geraden AS und AS diePuncte S' und (7' so liegen, daß AS. AS' -- AS. AS', so liegt (7' aufdem Kreise SSS'. Gesetzt, dieser Kreis schnitte die Gerade AS in L, so wäreAS.AL'---AS.AS und verschieden von AS. AS', gegen die Voraussetzung.

5. Mit Hilfe des geometrischen Mittelszwischen zwei Strecken kann man das Dreieckconstruiren, welches dem einen von zwei gege-benen Dreiecken an Fläche gleich, dem andernähnlich ist (Lud. VI, 25). Um das Dreieckzu finden, welches gleich ASL7, ähnlich AI)6 ist,construirt man das geometrische Mittel ASzwischen AS und AS, und zieht SS parallel

*) Lud. III, 35 ff. Der Name des Products ist von Steiner (Ereile I. ix. 164) eingeführt worden.

Bacher. II. 2. Aufl.

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