§. 12. Von den ähnlichen Figuren. 83

ist AS — AS der goldene Abschnitt von AS. Denn die Gerade ASberührt den Kreis (0), also hat man (4)

AL: AS -- AS : ASund nach Subtraction von 1, weil SS — AS,

AS : AS ^ SS : AS, AS^ SS. AS.

Nach dem Pythagoreischen Satze ist AS? — AS^ -s- SS? —5AS^, folglich AS: AS -- 5, und

AS: AS

SS : AS -- U3—/5),

AS: SS — z(V5-s-1).

Bei einem Kreise ist der goldne Abschnitt des Radius die Seiteeines regulären eingeschriebenen Zehnccks. Ist AS --AS, SS — AS,so ist SSS ^ SSA (2), weil diese Dreiecke den Winkel S gemeinhaben, und SS : SS -- SS: SA. Daher ist der Winkel SSS --SAS und die Seite SS — SS — AS, folglich auch der WinkelASS -- SAS, ASS — SSA -- 2SAS, 5SAS 180«, 10SAS-- 360».

ß. 12. Von den ähnlichen Figuren.

I. Wenn jedem Punct einer Figur ein Punct einer andern Figurso entspricht, daß die Dreiecke ASS, ASS, ASS, . ., welche von zweiPuncten der einen Figur mit den übrigen Puncten derselben Figur ge-bildet werden, den entsprechenden Dreiecken der andern Figur A'S^S,A'S'S^, A'S'L', .. der Reihe nach ähnlich sind, und dabei ASS, ASS,..mit ALS von einerlei oder entgegengesetztem Sinne, je nachdem A^S',A^S'L', . . mit A^S'S von einerlei oder entgegengesetztem Sinne sind:so sind die Figuren ASSSL . . und A^SS'L^ .. ähnlich, d. h. alleübrigen Dreiecke der einen Figur sind den entsprechenden Dreiecken derandern Figur ähnlich, die Strecken der einen Figur verhalten sich zueinander der Reihe nach wie die entsprechenden Strecken der andernFigur, das Verhältniß der Perimeter ist das Verhältniß entsprechenderStrecken, das Verhältniß der Flächen ist das Quadrat des Verhältnis-ses entsprechender Strecken.*)

') Lud. VI, 20. Die Euclideische Definition (die erste zum 6ten Buch) ist un-statthaft, weil sie Behauptungen einschließt, welche eines Beweises bedürfen. Vergl.tz. 7 und die daselbst erwähnte Abhandlung des Vers.

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