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Viertes Buch. Planimetrie.
und u.
Beweis. Nach den Voraussetzungen ist derWinkel SAO --- S'A'S', SAO ----- S'A'6", folglich
6AS -- L"A'S'. Zugleich ist A(7 : AS -- A-6':A'S', AS : AS ----- A'S' : A'S', folglich A6 : AS
------ A'<7' : A^SZ mithin AOS-^ A'S'S' (Z. 11, 2).
Ebenso erkennt manAOL^A^LHAOL^A/S^SH..,S<7O-x>S'0'SH SOL^S'SS, SSLS'O'S,...Aus der Aehnlichkeit von SSS und S'6"7>, SOSund S'6"S folgt ebenso die Aehnlichkeit von <7SLw.
Die Gleichungen AS : A'S' — AS : A'S SS: S'S
-^-SO : L'S' SS : SS' -- 6L': SS ^ . . sind in der
Proportion
AS:AS:..:SS:SS:..:SS:.. —A'S':A'S:..:S'S:S'O':..:SS':..enthalten, aus der auch
^8 SS -p- es -P . .: AS ^-- A'S' -s- S'S -s- SS' A's'
oder
AS A- LO -s- SS -s- ..: A'S' > S'S -s- SS' -P..-- AS : A'S'folgt (Algebra H. 1, 7). Ebenso schließt man aus den Gleichungen(s- 11, 1)
ASS:A'L'S--ASS: A'SS'----ASL':A'O'L'(AS: A'S') -das Verhältniß der Flächen
AS SSL . . : A'S'SS'L' . . — (AS: A'S') 2 .
2 . Wenn 3 Puncte der einen Figur auf einer Geraden liegen, soliegen die entsprechenden Puncte der ähnlichen Figur auch auf einerGeraden; entsprechende Strecken der ähnlichen Figuren werden in ent-sprechenden Puncten nach demselben Verhältniß getheilt. Wenn insbe-sondere eine Figur ein Centrum hat (tz. 7, 6), so hat auch die ähnlicheFigur ein Centrum, und die Centren sind entsprechende Puncte der bei-den Figuren.
Liegen die Puncte der einen Figur auf einer Curve, so liegen dieentsprechenden Puncte der ähnlichen Figur auf einer ähnlichen Curve.Einer Sehne der einen Curve entspricht eine Sehne der andern Curve,und wenn eine Sehne der einen Curve verschwindet, so verschwindetauch die entsprechende Sehne der andern Curve, d. h. der Tangente dereinen Curve durch einen Punct entspricht die Tangente der andern Curvedurch den entsprechenden Punct (tz. 3, 5). Einem der einen Curve ein-geschriebenen oder umgeschriebenen Polygon entspricht ein der andernCurve eingeschriebenes oder umgeschriebenes Polygon, und wenn das einedieser Polygone mit der Curve bei unendlicher Anzahl der gemeinschaft-