Viertes Buch. Planimetrie.

tz6

Bon den Halbkreisen 4S, SO, (70, O4, unter denen der erste unddritte gleich, der zweite und vierte concentrischsind, wird eine Fläche eingeschlossen (Salinon,4.rellim. Isrmrrg. 14), die der Fläche des Krei-ses gleich ist, dessen Diameter die Summe 2^(7der Radien von den beiden conceutrischen Halb-7s kreisen ist. Denn 42)2 — 24S2 -j- SO- ---(2KL(7) 2—2KL 2-s-L 02---2(^S-s-K (7) 2

-- 2 ^ 2 .

Von den Halbkreisen über den Seiten eines rechtwinkeligen Dreieckswerden zwei sichelförmige Flächen lumllas) eingeschlossen, de-

ren Summe der Fläche des Dreiecksgleich ist. Denn die Summe der Halb-kreisflächen über den Catheten ist derHalbkreisfläche über der Hypotenusegleich, woraus durch Subtraction derSegmente über den Catheten die Be-hauptung sich ergiebt.

Wenn man einem Kreise das recht-winkelige und gleichschenkelige Dreieck 4S2) einschreibt, und um das Cen-trum 2) den Halbkreis L4S2^ beschreibt, so daß L'2^ mit 427 parallel

ist, so ist die sichelförmige Fläche zwischendem Halbkreis 427 und dem Quadranten4S sowohl der von dem Diameter LR',dem Octanten 427, dem Halbkreis L4und dem Octanten 42? eingeschlossenenFläche, als auch der Fläche des Dreiecks4S2) gleich. H Denn 2)^2^2(742, folg-lich ist die Fläche des Halbkreises L2^2mal so groß als die Fläche des Halb-kreises 4L, und der Sector4272) gleich der Fläche des Halbkreises 422Indem man nun die von dem Quadranten 427 und dem Halbkreis L4eingeschlossene Fläche von der Kreisfläche 4S und von der Halbkreis-fläche L2^subtrahirt, und indem man das Segmentes von der Halb-kreisfläche 427 und von dem Sector 2)4S subtrahirt, erhält man dieangegebenen Gleichungen.

/DQ-

/ XX

//^7 ^

*) Imnulg. des Hippocrates von Chios, eines Zeitgenossen von Pericles, wieProclus zu Euclid berichtet. Bergt. Klügel mach. W. III x. 591. Untersuchun-gen,über die Flächen anderer sichelförmigen Figuren findet man angeführt ReußReport, oomwentt. x. 45. Dahin gehört auch der Aufsatz Clausen's in Lrelle I.21 x. 375.