Z. 14. Producte und Quadrate von Strecken.

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Wenn nun das Viereck USO/) concav ist, so sind auch USO^Ä)und ULO/ist concav, und man hat nach dem Ptolemäischen Lehrsatz (15)

— oer -st />Ä

/S ab -s-> oÄ

Fb — Lo -st aÄ.

Hieraus folgt

l 1 1

-- : - : , — So -st «Ä: orr -st SÄ : ab -st oÄ,

/ A ^

-n (aS -st -st aÄ)(ea -h- SÄ),

, _ (oa -st SÄ)(aS -st oÄ)

So -st aÄ

^ (aS ch oÄ) (So -st aÄ)

^ oa -st SÄ

(So -st aÄ) (ea -s- SÄ)

ab -st oÄ ' ^

Wenn dagegen der Perimeter des Vierecks -l/)L'/) sich selbst schnei-det, so ist dies auch bei den Vierecken und ULOO, der Fall.

Die kleinste Seite z. B. UL wird in keinem dieser Vierecke von dergegenüberliegenden Seite innen geschnitten. Dann hat man aber nachdem Ptolemäischen Lehrsatz oa -s- ---- SÄ, u. s. w., indem man

die Diagonalen auf gleiche Art wie oben durch , Äi, ^ bezeichnet.Mithin ergeben sich wiederum die obigen Formeln, nur mit dem Un-terschiede, daß die kleinste Seite (a) negativ zu nehmen ist. In den ab-geleiteten Formeln für /^, ^ 2 , ^ ^s gleichgültig, welche von den

vier Seiten negativ genommen wird.

28 . Wenn in einem dem Kreis eingeschriebenen Viereck USODdie gegenüberliegenden Seiten /)U, SO in L, von den Geraden ge-schnitten werden, die durch /) parallel mit den Diagonalen /)L,-l<7gezogen sind, so ist das Viereck 0/)///-' ähnlich USLD und entgegenge-setzten Sinnes. Mit Hülfe des Vierecks dessen erste Seite mit

der dritten parallel ist, kann das Viereck construirt werden, des-

sen Seiten gegeben sind und durch dessen Eckpuncte ein Kreis geht.")

Beweis. Die Winkel 20/)L, 20/1-1, 20L-1 sind gleich, weil/),L, U auf einer Geraden, 6, /), U, L auf einem Kreise liegen. Die

U Brahmegupta. S. Chasles ax. bist. x. 485 d. Uebers. Die dritteDiagonale kommt bei Girard vor. Vgl. unten (30).

") Nach Lams sxnwen ä«8 äitk. mstlroäss . . x. 18. Diese Aufgabe ist seitdem Ende des Ivten Jahrhunderts vielfach behandelt worden. Vgl. Chaslesnxoryu dmt. x. 496 d. Uebers. Kunze Planim. 2te Aufl. x. 239. Camerer nachKlingenstjerna in der Uebers. von Simsons Bearbeitung der ebenen Oerter desApollonius x. 427.