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Viertes Buch. Planimetrie.
§. 15. Perimeter und Fläche der Figuren.*)
I. Wenn zwei isoperimetrische Dreiecke (d. h. von gleichem Um-fang) gleiche Basen haben, so hat dasjenige die kleinere Fläche, in wel-chem an der Basis der größte Winkel liegt.**) Ist ^lS -st SS ----4Sst-SS, und SS^I der größte unter den an -4S liegenden Winkeln,so ist die Fläche ^lSS < ^SS.
Beweis. Es sei der WinkelSS^l > SS^l > SUO, so ist S-4Sst> s^s, sonst läge (7 im Dreieck
^ und UO -st SS wäre kleiner
als -4S -st SS (Z. 3, 2) gegen dieVoraussetzung. Daher schneiden sichUS und SS innen in S, so daß SS< US (8. 3, 1). Macht man SS— SS in der Richtung LU und
55 — SS in der Richtung SS, so ist SS ---SS (H. 5, 1), folglich
US -st SS -st SS -st SS -- US -st SS -st SS -st SS US
-st SS --- us st- SS. Nun ist us < us -st SS, folglich us -st
56 < US -st SS -st SS st- SS, daher US > SS -i- SS -st SS
< us -st SS st- SS st- SS, SS st- SS < SS ! SS. Hieraus
folgt (Z. 3, 2), daß das Dreieck SLS ein Theil des Dreiecks ULS ist,folglich SSS < -4 SS, USS < USS.
2. Unter den Dreiecken auf derselben Basis hat das gleichschen-kelige bei gleichem Perimeter die größte Fläche, bei gleicher Fläche denkleinsten Perimeter.
Beweis. Ist US -st SS — US -st SS, so liegt S außerhalbdes Dreiecks USS. Ist US --- SS, folglich der Winkel SSU^SUS,so ist von den Winkeln SSU und SckS einer kleiner, der andere grö-ßer als SSU, mithin (1) die Fläche USS < USS.
*) Die ersten Sätze über isoperimetrische Figuren sind srüh gefunden worden.Der Satz vom Kreise und der entsprechende von der Kugel wird dem Ppthagoraszugeschrieben. Die zugehörige Eigenschaft der Halbkugel wird von Archimedes(8xh. et 6^1. II, lO) bewiesen. Zenodor (früher mit Zenodot verwechselt und insSie Jh. vor Chr. gesetzt, wahrscheinlich aber nach Archimedes zu setzen) hatte die Ele-mentarsätze über isoperimetrische Figuren in einer Schrift vereint. Von derselben hatTheon im Commentar zum Almagest (eä. Unlmg, p. 33) einen Auszug gemacht,mit welchem Pappns (Sollest. V) vielfach zusammentrifft. Nach diesen Quellen istZenodor's Abhandlung deutsch wiedergegeben worden von Nokk im Programm desFreiburger Lyceum 1860. Eine neue Begründung dieser Lehre und beträchtliche Er-weiterungen hat L'Huilier üe relstioire mutus. euxueitutis st torminorum LZu-rurum 1782 gegeben. Am gründlichsten ist dieser Gegenstand von Steiner in 2Abhandlungen (Crelle I. 24 x. 93 und 189) beleuchtet worden.
**) Pappus V. ö und Steiner x. 96.