H. 15. Perimeter und Fläche der Figuren.

139

Ist das gleichschenkelige Dreieck USO dem Dreieck USD gleich,und das gleichschenkelige Dreieck USL mit USD von gleichem Umfang,so ist uss> -< USL, folglich uso < USL, woraus man schließt, daßUSO einen kleinern Perimeter hat als USL oder USO.

8 . Unter den isoperimetrischen Dreiecken hat das gleichseitige diegrößte Fläche. Unter den gleichen Dreiecken hat das gleichseitige denkleinsten Perimeter.

Beweis. Ist USO gleichseitig undvon gleichem Umfang mit UOL, dessengrößte Seite UO ist; macht mau UOSgleichschenkelig und von gleichem Umfangmit UOK, so ist US -st SS -st SU ----U0 -s- 6L LU, 3US < 3UL, undder Winkel SSU < USS. Verlängertman US um SO, so daß SSO und SSS ^gleichen Umfang haben, so ist der Winkel

sss > SSO, folglich die Fläche SKS < SSO (1). Nun istUSL< uss (2) , uss < USO , USO < US<7 (2); folglich UOS<j uso. Die andere Behauptung wird wie in (2) bewiesen mitHülfe des gleichseitigen Dreiecks, welches mit dem gemeinen Dreieckgleichen Umfang hat.*)

L. Unter den Dreiecken, welche die Summe von 2 Seiten gleichhaben, ist dasjenige das größte, in dem diese Seiten einander gleich sindund einen rechten Winkel einschließen.

Beweis. Ist US -- SO, OSU —

90°, us -st SS - US -st SO — US-stSS, US -- SS, so ist USO > ^SL(8- 9, 2), USL > UOL (2), folglich uso> uss.

Unter den isoperimetrischen Vierecken hatdemnach das Quadrat die größte Fläche.

Unter den gleichen Vierecken hat das Qua- ^drat den kleinsten Perimeter.

Unter den isoperimetrischen Kreissectoren hat derjenige die größte

9 Steiner p. 99.