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Viertes Buch. Planimetrie.
Fläche, dessen Bogen dem Diameter gleich ist. * **) ) Denn der Sector isthalb so groß als das rechtwinkelige Dreieck, dessen Catheten so lang sindals der Bogen und der Diameter (K. 10, 4). Bei gegebener Summeder Catheten wird das Dreieck am größten, wenn die Catheten einan-der gleich werden.
S. Unter allen isoperimetrischen Figuren hat der Kreis die größteFläche. Unter allen gleichen Figuren hat der Kreis den kleinsten Peri-meter.")
Beweis. Figuren von gegebenem Perimeter können nicht beliebiggroße Fläche haben, weil sede Diagonale kleiner ist als der halbe Peri-meter <tz. 3, 2). Die größten unter diesen Figuren können von innenbetrachtet nirgends convex erscheinen; sonstkönnte man die Figur vergrößern, ohne denPerimeter zu vergrößern, indem man z. B.statt des convexen Theils 4^S44 des Perime-ters den gleichen und ähnlichen concaven Theil4U44 setzte. Sind U und S Puncte, welcheden Perimeter einer größten Figur halbiren,so muß die Gerade AL die Fläche derselbenhalbiren; sonst könnte man die Figur vergrö-ßern, ohne den Perimeter zu vergrößern, indem man dem größern Theilden andern gleich und ähnlich machte. Sind 6, 4), , . andere Punctedes Perimeters, so müssen die Winkel AOL, U4>4, . . recht sein; sonstkönnte man ohne Aenderung des Perimeters die Figur vergrößern, in-dem man diese Winkel recht machte (Z. 9, 2). Die Scheitel der rechtenWinkel A6S, UO4), . . liegen auf dem Kreise, dessen Gegenpuncte Aund S sind (K. 4, 3). Also kann eine Figur von größter Fläche beigegebenem Perimeter von einem Kreise nicht verschieden sein.
Ist der Kreis L der Figur 4 gleich, und 4 mit dem Kreise 44 vongleichem Umfang, so ist 4 < 44, folglich 44 < 44, mithin 44 von klei-nerm Umfang als 44 oder 4.
<i. Wenn der Perimeter einer Figur aus einer unbegrenzten Ge-raden § und einer willkürlichen Linie l besteht, und wenn entweder nieLänge von / oder die Fläche der Figur gegeben ist, so ist die Fläche amgrößten, oder die Länge von i am kleinsten, wenn die Figur ein Halb-kreis ist.***)
*) Steiner x. 114.
**) Pappus V, 2. Steiner x. 105.
»»») Steiner x. 109. Vgl. Pappus V, 17.