K. 15. Perimeter und Fläche der Figuren.

141

Beweis. Der Halbkreis 7" und die andere mit ihm zn verglei-chende Figur <2, bei der die angegebenen Bedingungen erfüllt sind, wer-den durch die gleichen und ähnlichen Figuren ergänzt, welche mit ihnenzur Geraden A symmetrisch liegen 7, 4). Nun ist bei gleichem Pe-rimeter 27'st>26, bei gleicher Fläche der Perimeter von 27" kleiner alsder von 2L7 (5), folglich u. s. w.

7 . Wenn der Perimeter einer Figur aus einer Strecke a und ei-ner willkürlichen Linie t besteht, und wenn entweder die Länge von toder die Fläche der Figur gegeben ist, so ist die Fläche am größten,oder der Perimeter am kleinsten, wenn die Figur ein Kreissegment ist.

Beweis. Das von « und § umschlossene Kreissegment 7" werdedurch das Kreissegment an zum Kreise 77 ergänzt, und eine andere vona und i umschlossene Figur durch Q bezeichnet.

Nun ist bei gleichem Perimeter 77)> <7 st- a«,bei gleicher Fläche der Perimeter von 77 kleinerals der von <7 st- a« (5). Durch Subtractionvon an findet man 7" <7 u. s. w.*)

Durch Addition von Kreissegmenten erkenntman ebenso, daß unter allen Figuren, deren Pe-rimeter aus zwei Strecken a, S, und einer oderzwei willkürlichen Linien r, m besteht, das Kreissegment die größte Flächeoder den kleinsten Perimeter hat, je nachdem ver Perimeter oder dieFläche der Figuren gegeben ist.

Ebenso schließt man, daß unter den aus gegebenen Seiten gebilde-ten Polygonen diejenigen, welche Kreisen eingeschrieben sind und derenPerimeter sich selbst nicht schneiden, größte Flächen umspannen.**)

8. Unter den Polygonen von derselben Seitenzahl hat das gemeinereguläre bei gleichem Perimeter die größte Fläche, bei gleicher Flächeden kleinsten Perimeter.***)

Beweis. Ein Polygon kann in ein größeres Polygon von der-selben Seitenzahl und von demselben Perimeter verwandelt werden,wenn zwei aufeinanderfolgende Seiten ungleich sind (2). Also muß dasgrößte unter den isoperimetrischen Polygonen von gleicher Seitenzahlgleichseitig sein. Das größte unter den Polygonen, die von gegebenen

*) Steiner x. 110.

**) Moula 1744 6onnn. Bstrop. 9 x. 138 und Cramer Usw. äs Berlin1752 p. 283. Vergl. die Einleitung zu L'Huilier's Werk.

"*) Pappus V, 1».

/S