ß. 1. Durchschnitt von Ebenen und Geraden.

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mit a als auch mit L auf einer Ebene liegt, folglich entweder beide zu-gleich schneidet, oder eine schneidet und mit der andern parallel ist. Ist(7 unendlich fern, so haben die Ebenen und bestimmte Stellun-gen; ihre gemeinschaftliche Gerade ist die Gerade von bestimmter Rich-tung, welche mit « und L je einen Punct gemein hat.

Wenn sowohl a als S mit den Geraden L und r je einen Punctgemein haben, so können b und r nicht auf einer Ebene liegen; sonstmüßten » und b auf derselben Ebene liegen. *)

8 . Drei Gerade a, S, von denen je zwei nicht auf einer Ebeneliegen, können mit unendlich vielen Geraden L, m, . , je einen Punctgemein haben; denn durch jeden Punct von « geht eine Gerade, diemit a, S, c je einen Punct gemein hat (7). Je zwei unter den Gera-den L, m, . . liegen nicht auf einer Ebene; je drei unter denselbenGeraden haben aber nicht nur mit a, S, c, sondern noch mit unendlichviel andern Geraden je einen Punct gemein. Beide Schaaren von Ge-raden a, s, c, . . und L, r, m, . . liegen auf einer durch irgend dreiGerade der einen oder der andern Schaar bestimmten geradlinigenFläche,**) die den Namen geradliniges Hyperboloid (hyperboli-sches Hyperboloid, ä uns nuxps) erhalten hat.

Wenn eine Gerade der Schaar a, S, o, . . unendlich fern ist, sohaben die Geraden b, r, m, . . mit einer Ebene auf welcher die un-endlich ferne Gerade liegt, je einen unendlich fernen Punct gemein undsind mit ihr parallel. Auf jeder Ebene, die mit ^ parallel ist, liegteine Gerade der Schaar L, r, m, .., also auch auf der unendlich fernenEbene, mithin ist eine Gerade der Schaar 1-, r, m, . . unendlich fern,folglich sind auch die Geraden der Schaar a, S, o, . . mit einer EbeneS parallel. Die Fläche, auf der beide Schaaren von Geraden liegen,heißt ein geradliniges (hyperbolisches)

Paraboloid; sie ist durch drei Geradebestimmt, von denen je zwei nicht auf ei-ner Ebene liegen, und die mit einer Ebeneparallel sind. Am einfachsten ist dieselbeFläche durch ein unebenes (xsuebs) ViereckF'QNK bestimmt; jede Ebene, die mitund LS parallel ist, schneidet LtL undin Puncten, durch welche eine Gerade derSchaar LK, . . geht; jede Ebene, die mit und SD parallel

*) Bergt. Steiner Crelle I. 2 x, 268.

**) Der Beweis dieser Eigenschaft beruht aus metrischen Beziehungen. Bergt, un-ten Trigon. §. 7, 16.