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Fünftes Buch. Stereometrie.

ist, schneidet und SS in Puncten, durch welche eine Gerade derSchaar <2S, SS, . . geht.

S. In der neuern Geometrie hat man mehr und mehr die Sätze,welche nur die gegenseitige Lage der Figuren und ihrer Elemente be-treffen, von den Sätzen unterschieden, welche die Größe derselben undquantitative Beziehungen von Raumgrößen in Betracht nehmen. DieSätze der ersten Art handeln von graphischen (descriptiven) Eigen-schaften, die Sätze der andern Art von metrischen Relationen derräumlichen Objecte. Man kann deshalb die gesammte Geometrie auchin zwei Gebiete trennen, in eine Geometrie der Lage (situs, Situation),und eine Geometrie des Maßes.*)

Schon die ersten graphischen Sätze, welche die Lage von Puncten,Geraden, Ebenen betreffen, lassen eine gewisse paarweise Zusammenge-hörigkeit, ein Gesetz der Dualität (Reciprocität, Polarität) erkennen,von der Art daß aus einem Satze der ihm zugeordnete (reciproke, po-lare) Satz entsteht, wenn Puncte und Ebenen mit einander vertauschtwerden.**) Nämlich:

Durch 2 Gerade a, S, die auf einer Ebene liegen, ist ein PunctaL bestimmt. Durch 2 Gerade a, S, die einen Punct gemein haben, isteine Ebene ab bestimmt (Plannn, tz. 1 nnd 2).

Durch 2 Puncte A, S ist eine Gerade AS bestimmt. Durch 2Ebenen a, ist eine Gerade a/L bestimmt.

Durch 2 Richtungen ist eine Stellung, durch 2 Stellungen eineRichtung bestimmt (4).

Durch eine Gerade <? und einen Punct S, der nicht auf der Ge-raden liegt, ist eine Ebene «L bestimmt. Durch eine Gerade a nndeine Ebene /I. welche die Gerade nicht enthält, ist ein Punct be-stimmt (2).

Durch 3 Puncte A, S, 17, die nicht auf einer Geraden liegen, ist

*) Bergt. Leibniz Brief an Hugens 1679 Sept. 8, mehrere Abhandlungenvon Euter, Vandermonde u. A. (Reust Report. 6omin. p. 33), insbesonderePoncelet propr. xros. 5 fs., der die Ausdrücke „graphisch und metrisch" eingeführthat, v. Staubt's Geom. d. Lage, Chastes Apsrsu bist. x. 207 d. Uebers.Tarnet's Osomstrie äs Position handelt nur von metrischen Relationen.

**) Das Gesetz der Dualität ist zuerst in metrischer Beziehung bei dem sphäri-schen Dreieck und seinem Polardreicck (H. 4) von Biet«, Lansberg, Snelliuswahrgenommen worden. Bergt. Chasles Ap. löst. p. 52 d. Uebers. u. Klügelmach. W. 4 p. 850. Dasselbe wurde umfassend in graphischer Beziehung bei planenund räumlichen Figuren erst im Ansang des 19ten Jahrhunderts erkannt. Wesentlichwar dabei die Einführung der Benennungen „Pol einer Geraden" durch Servois,„Polare eines Puncts" und „Dualität" durch Gergonne. „Reciprocität" durchMonge und Poncelet. Vergl. Chasles Ax. Irist. p. 398 und 405 d. Uebers.Die obigen Dualisirnngen finden sich bei Gergonne (Ann. 16 p. 209) und v.Staudt Geom. d. Lage 66.