H. 2. Winkel und Abstände von Ebenen und Geraden.

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eine Ebene dSO bestimmt. Durch 3 Ebenen «, jZ, die nicht eineGerade enthalten, ist ein Punct bestimmt (6).

Bei diesen Sätzen ist es gleichgültig, ob die Puncte, Geraden, Ebe-nen in endlicher oder unendlicher Ferne liegen.

K, 2 Winkel und Abstände von Ebenen undGeraden.

1. Wenn eine Gerade zu zwei sich schneidenden Geraden einerEbene normal ist, so ist sie eine Normale der Ebene, d. h. zu jederGeraden der Ebene normal.*) Wenn dieWinkel HO, TVdO recht sind, und die Ge-rade dO auf der Ebene dso liegt, so istauch der Winkel TVdO recht und d7V eineNormale der Ebene dO<7.

Beweis. Man zieht auf der Ebene dOOdurch je einen beliebigen Punct der Schenkeldo und dO des Winkels, in welchem dOliegt, die Gerade OO, welche dO in O schneidet. Auf der die GeradendS, dO normal schneidenden Geraden theilt man entgegengesetzt gleicheStrecken ab, d7V und dO. Dann sind (Planim. tz. 5)die Dreiecke TVdS und OdO gleich und ähnlich, d. h. 7VO — OO;

die Dreiecke TVdO und OdO gleich und ähnlich, d. h. 7X0 Ot7;

die Dreiecke 7VOO und OOO gleich und ähnlich, d. H.W.7X60---000;

die Dreiecke 7VOO und 007) gleich und ähnlich, d. h. 7V7) ^ 07);

die Dreiecke 71710 und Od7) gleich und ähnlich, d. h. W 7Vd7)—7)dO.

Demnach ist der Winkel HO recht.

Anmerkung. Wenn die Ebenen /Z, y zu einer Geraden a nor-mal stehn, so können sie sich nicht schneiden. Lud. XI, 14. Denn einebeliebige Ebene S, welche die Gerade a enthält, schneidet die Ebenen Al' in Geraden, die zu der Geraden a normal sind und sich nicht schneiden.

2 . Wenn drei Gerade dO, dO, d.7) eine Gerade d7X in demsel-ben Punct normal schneiden, so liegen sie auf einer Ebene. Lud. XI, 5.

*1 Lud. XI, 4. Der Euclid'sche Beweis ist weitläufiger als der hier gegebene,der in einer Abhandlung von Crelle (Crelle I. 45 p. 35) vorkommt. Ein andererBeweis ist von Legendre tzsoiu. V, 4) auf Sätze gegründet worden, die diesemGebiete von Betrachtungen fern stehn.