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Fünftes Buch. Stereometrie.

Flächenwinkel heißen spitz, recht, stumpf, supplementär, complemen-tcr, Nebenwinkel, Scheitelwinkel, wenn ihren Normalschnitten diese Be-nmnnngen zukommen. Wenn die Seiten des Flächenwinkels normal zueinander stehn (4), so ist der Flächenwinkel recht.

Anmerkung. Die von einer Normale einer Ebene mit einerNormale einer andern Ebene gebildeten Winkel können ebenfalls zurBestimmung der von den beiden Ebenen gebildeten Flächenwinkel ge-braucht werden. Wenn (7AO ein Normalschnitt des Flächenwinkelsist und die rechten Winkel ^Al7, LA7) auf der Ebene 6AOlugen, so sind A./, Normalen der Ebenen (TAL, OAL (1), und dieWinkel (7A7), einander gleich.

Wenn die Geraden A(7, A'(? auf einer Ebene, und A/0, aufeiner andern Ebene so liegen, daß die Winkelsummen (7AA7 -st- ,lA"(7'und OAA^ -s- je 180" betragen, so sind nach dem obigen Be-

weis die Winkel (7AO und (7A'/A einander gleich. In der gemeinenGeometrie gelten die Schenkel dieser gleichen Winkel als paarweise par-allel, und man versteht unter dem Winkel von zwei Geraden, die nichtauf einer Ebene liegen, einen Winkel, dessen Schenkel mit den beidenGeraden der Reihe nach parallel und von einerlei Richtung sind.

6 . Wenn durch gegebene Puncte des Raumes A, S, (7, . . nacheinem gegebenen Gesetz Linien von bestimmter Art gezogen werden, welcheeine gegebene Fläche in den Puncten A,, L,, (7,, . . schneiden, so hei-ßen die Flächenpuncte , L,, (7, , . . Projektionen (xrogsotio —Entwerfung, Entwurf) der Raumpuncte A, L, (7, . . aus die gegebeneFläche. Die gegebene Fläche heißt die ProjectionSfläche (Bildfläche),die durch die Raumpuncte gezogenen Linien heißen die Projicirend en(xrosstaates) der Puncte. Die Figur, deren Puncte die Projektionender Puncte einer Figur sind, heißt die Projection der gegebenen Figur.')

In den einfachsten Fällen nimmt man zur ProjectionSfläche eineEbene, zu Projicirenden Gerade, welche zur Projektionsebene normalsind. Die so erhaltenen Projektionen heißen Norm a lprojecti o n en(orthogonale, orthographische, Projektionen schlechthin). Die Geraden,welche die Puncte einer Geraden projiciren, liegen auf einer Ebene,

*) Die Projektionen sind von den griechischen Astronomen (Hipparchus, Pto-lemaeus u. A.) zur Abbildung der scheinbaren Himmelskugel gebraucht worden.Klügel Math. W. IV x. 492. Im löten Jahrhundert wurde die aus dem Alter-thum bekannte Perspective ausgebildet, zu der am Ende des 18ten Jahrhunderts dievon Menge vervollkommnete deskriptive Geometrie (Projectionslehre) hinzukam. Zugeometrischen Untersuchungen hat zuerst Desargues um 1640 die Projektionen ge-braucht; die Wichtigkeit dieser Anwendung ist durch Monge's Schule, besonders aberdurch Poncelet's Arbeiten (proxr. xroj.) in Helles Licht gesetzt worden.