Z. 4. Sphärik.
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Die Quadranten, welche von einem Puncte der Kugel ausgehn,endigen auf einem Hanptkreis, der Polare des Punctes (und desGegenp unctes). Die durch den Punct gehenden Hauptkreise schnei-den die Polare des Punctes normal.*)
Beweis. Die Ebenen, welche zur Ebene des Hanptkreises nor-mal sind und das Centrum der Kugel gemein haben, schneiden sich ineiner Normale der Ebene des Hauptkreises (H. 2, 4).
Die Geraden, welche zu einem Radius der Kugel normal sindund das Centrum gemein haben, liegen auf einer Ebene (Z. 2, 2-, dienormal steht zu jenem Radius und zu den denselben Radius enthalten-den Ebenen.
Man findet den Pol eines Hauptkreises, indem man in einem be-liebigen Punct desselben einen normalen Hauptkreis zieht und auf dem-selben von jenem Punct aus einen Quadranten abschneidet. Man fin-det die Polare eines Punctes, indem man von demselben aus einen be-liebigen Quadranten zieht und normal zu ihm durch seinen Endpuncteinen normalen Hauptkreis legt. Wenn ein Punct der Pol eines Hanpt-kreises ist, so ist der Hanptkreis die Polare des Punctes. Wenn Haupt-kreise durch einen Punct gehn, so liegen ihre Pole auf einem Haupt-kreis, der Polare des Punctes; wenn Puncte auf einem Hanptkreis lie-gen, so gehn ihre Polaren durch einen Punct, den Pol des Haupt-kreises.
7 . Der Bogen eines Hanptkreises ist durch seinen Anfangspunctund Endpunct unzweideutig bestimmt, wenn der Sinn gegeben ist, inwelchem der Hanptkreis von dem Anfangspunkt bis zum Endpunct durch-laufen werden soll (Planim. ß. 4, 6). Während man außen auf derconvexen Seite der Kugel den Hanptkreis in dem vorgeschriebenen Sinnezurücklegt, behält man einen seiner Pole (Pol und Gegenpol) zur Linken,den andern zur Rechten; unter dem Pol des Hanptkreises soll der zurLinken liegende verstanden werden, wenn die Winkel auf der Kugeldurch linksum gehende Drehungen beschrieben werden. Demgemäß wirddie Polare eines Punctes in solchem Sinne durchlaufen, daß der Punctder zur Linken liegende Pol seiner Polare ist. **) Unter diesen Voraus-setzungen gilt folgender Satz:
*) Theodos. 8xü. I. Vergl. die Anmerkung zn K. t, 9. Der Ausdruck „Poleines Kreises" kommt früher z. B. bei Archimedes vor (Kugel und Cylinder II),und bedeutet das sphärische Centrum des Kreises. S. unten 12.
Auf diese wichtige Unterscheidung hat Gauß (Oisgnis. Kensrnles eiron sn-gsriiews enrvns 2, VI) aufmerksam gemacht. Vergl. Schulz Sphärik I, 12. undMobius anal. Sphärik 1l> und 18.