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Fünftes Buch. Stereometrie.

Der von zwei Hauptkreisen eingeschlossene Winkel ist dem von ih-ren Polen eingeschlossenen Bogen gleich, dessen Pol der Scheitel desWinkels ist. Der von zwei Puncten eingeschlossene Bogen ist dem vonihren Polaren eingeschlossenen Winkel gleich, dessen Scheitel der Poldes Bogens ist, — wobei nm der Kürze willen Bogen statt des zu ihmgehörigen Centriwinkels gesetzt ist.

Beweis. Werden die durch -4 gehenden Hauptkreise von derPolare des Punctes -4 in S und <7 geschnitten, so daß die Schenkel

des in Betracht kommenden Winkels -4Sund -4(7 je einen Quadranten betragen, soist der Bogen 27(7 unzweideutig bestimmt,der zu ihm gehörige Centriwinkel ist einNormalschnitt des von den Ebenen derHauptkreise eingeschlossenen Flächenwinkels(tz. 2, 5) und dem Winkel der Hauptkreisegleich (2). Werden nun auf der Polarevon -4 in dem bestimmten Sinne die Qua-dranten 272) und (7L abgeschnitten, so sindund 27 die Pole von -427 und -4(7, und man hat S27 — S2) ^SS — (7L, /-L --- 77(7.

8 . Zu einem sphärischen Dreieck-4S(7 gehört ein Polardreieck(Supplementardreieck) .4'27'C, dergestalt, daß nicht nur die Puncte .4',

27', (7' die Pole der Seiten SO, (7-4, -4S/ ' sondern auch die Seiten S'(7', (7-4', -4'/7'

die Polaren der Puncte -4, S, (7 sind,mithin -4S(7 wiederum das zu -4'S'(7' ge-hörige Polardreieck ist.*) Ist -4' der Polvon 27(7, 27' der Pol von (7-4, so betra-gen die Bogen (7-4', (7S' je einen oderdrei Quadranten, und der Bogen -4'27'kann in solchem Sinne beschrieben werden,daß 0 sein Pol ist, u. s. w.

H Die Winkel eines Dreiecks sind derReihe nach Supplemente der Seiten desPolardreiecks. Denn der von (7-4 und(7S eingeschlossene Winkel ist dem von ihren Polen S' und -4" einge-schlossenen Bogen gleich (7). Nun ist -4" der Gegenpunct von -4', also-4'27' -j- S'-4" -- 180», folglich u. s. w.

*) Dergl. die Anmerkung zu K. I, 9. Polardreiecke werden deshalb auch reci-proke Dreiecke genannt. Gudermann «ied. Sphärik 2V.