tz. 4. Sphärik.
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Die Fläche des Dreiecks und der Perimeter des Polardreiecks er-gänzen sich zu 360". Haben die Winkel des Dreiecks «, A y, die Sei-ten des Polardreiecks ach c' Grad, so ist
« -j- -r' -- jZ Z- i8(>», ), -s- o' ------ 180»,
(« -p- si j x — 18ll») -P Z- Z- 360»,
wovon das erste Glied die Fläche des Dreiecks, das andre den Perime-ter des Polardreiecks bedeutet (5).
S Zu jeder sphärischen Figur gehört eine Polarfigur, derenPuncte der Reihe nach die Pole der Seiten der Figur sind, und derenSeiten der Reihe nach die Polaren der Puncte der Figur sind. Wennder Perimeter der Fignr nicht aus Bogen von Hauptkreisen besteht, sosind ihre Seiten als verschwindend klein und mit berührenden Haupt-kreisen zusammenfallend zu betrachten, bereu Pole auf dem Perimeterder Polarfigur liegen. Eine sphärische Figur ist die Polarfigur ihrerPolarfigur.
Durch Zusammensetzung der Figur auS Dreiecken findet man, daßdie Fläche der sphärischen Figur und der Perimeter ihrer Polarfigur zu360» sich ergänzen (8). Aus der Quadratur der Figur wird die Rec-tification der Polarfigur gefunden, und umgekehrt.
Jede Eigenschaft einer sphärischen Figur kann auch als Eigenschaftihrer Polarfigur betrachtet werden, und giebt vermöge des Zusammen-hangs beider Figuren eine zugeordnete Eigenschaft der ursprünglichenFigur zu erkennen. In dem Ausdruck der zugeordneten Eigenschaft stehnHauptkreise an der Stelle von Puncten, Seiten an der Stelle von Win-keln, Perimeter an der Stelle von Flächen, und umgekehrt. Die Ei-genschaften der sphärischen Figuren sind dual.*)
Iv. Unter den Eigenschaften des gemeinen sphärischen Dreiecks,dessen Seiten und Winkel einzeln 180» nicht erreichen, sind zu erwäh-nen (Menelaus Sph. I):
I. Die Summe der Winkel ist größer als 180». Die Summeder Seiten ist kleiner als 360».
Beweis. Der Exceß des sphärischen Dreiecks ist oben (5) nach-gewiesen worden. Der Perimeter des Dreiecks wird durch den Exceßdes Polardreiecks zu 360» ergänzt (8).
II. Ein Außenwinkel ist größer als die Differenz, kleiner als die
Die Polarfigur und die Beziehung ihres Perimeters zur Fläche der Figurfindet man erwähnt bei Schulz Sphärik I p. 21 und II x. 241. Ueber die Dua-lität vergl. Gergonne Xnn. 15 p. 302.