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Fünftes Buch. Stereometrie.
Summe der beiden Winkel, welche nicht neben ihm liegen. Eine Seiteist größer als die Differenz, kleiner als die Summe der beiden andernSeiten. *)
Beweis. Haben im Dreieck ASO die Winkel und die gegenüber-liegenden Seiten der Reihe nach «, A a, ö, o Grad, so ist im Ne-bendreieck A^SO (Ist
« st- 180° — ^ st- 180° — / > 180°
« -j- 180° — S -st 180° — o < 360°
d. h. 180° — / 7 > /I — «, « — ö-< c, u. s. w. Im Dreieck ALO
hat man a st- jS >> 180° — 7 .
Anmerkung. Der kleinere Bogen eines Hauptkreises ist kürzerals eine andere Linie, die auf der Kugel zwischen denselben Endpunctenenthalten ist, und giebt den sph arischen Abstand seiner Endpunctean. Denn AS ist kürzer als die aus Bogen von Hauptkreisen bestehen-den Linien SO st- OA, SO st- (7/) st- SA, . .; also ist AS kürzer,als eine Linie, die aus unendlich viel unendlich kleinen Bogen vonHauptkreisen bestehend mit irgend einer sphärischen Curve zwischen Aund S zusammenfällt.
III. Gleichen Winkeln liegen gleiche Seiten gegenüber; dem gro-ßem Winkel liegt die größere Seite gegenüber. Gleichen Seiten lie-gen gleiche Winkel gegenüber; der größeren Seite liegt der größereWinkel gegenüber.
Beweis. Wenn im Dreieck ASO die Winkel A und S einandergleich sind, so deckt das Dreieck AS<7 sein Gegendreieck A^Ost wennman A mit S, , S mit A, vereint. Also ist die Seite S<7 — A, 6,--- AO.
Wenn aber der Winkel (ISA st> SAO, so macht- man den Winkel LSA--SAO, und erhält LS---LA.
Nun ist 677 -st SS > s<7 (II), folglich 6A > so.
Wenn das Dreieck zwei gleiche Winkel hat, so hatsein Polardreieck zwei gleiche Seiten, u. s. w.
Anmerkung. Die Summe von zwei Winkelnist zugleich mit der Summe der gegenüberliegendenSeiten kleiner, oder eben so groß, oder größer als 180°. Wenn z. B.die Summe der Winkel AOS st- SAO <st 180°, so ist in dem Neben-dreieck OSA, der Winkel OA^L < SOA,, folglich die Seite SO<stSA,,d. h. AS st- SO < 180°.
st Gewöhnlich wird dieser Satz vorangestellt und nach Lnel. XI, 20 aus Be-trachtungen abgeleitet, welche der Sphärik fremd sind.