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Fünftes Buch. Stereometrie.
Basis umgeschrieben ist. Die Basen der sphärischen Dreiecke, welcheden Winkel an der Spitze gemein und zwischen der Summe der Seitenan der Spitze und der Basis dieselbe Differenz haben, berühren ein-schließend einen bestimmten Kreis, der dem Winkel an der Spitze ein-geschrieben ist. Wenn die Winkeldifferenz
SAS -j- L'SA — ALS SAO -ff S>SA — ASSist, und durch A/, IV die sphärischen Centren der Kreise AS<7, ASObezeichnet werden, so ist 2SAM — 2SAIV, folglich u. s. w. Bergt,auch 10, II.
Die Spitzen der sphärischen Dreiecke, welche eine gemeinschaftlicheBasis und gleiche Winkelsummen, mithin gleiche Flächen haben (5), lie-gen auf einem bestimmten Kreise (dem Lexell'schen Kreise), derdurch die Gegenpuncte der Endpuncte der Basis geht.*) Die Basender sphärischen Dreiecke, welche den Winkel an der Spitze gemein undgleiche Perimeter haben, berühren ausschließend einen bestimmten Kreis,der dem gemeinschaftlichen Winkel eingeschrieben ist. Denn in den Schei-teldreiecken AS (7, A,S^O hat manLSA -s- SAt7 -s- ALS — 180»180» - (Wj A^ -s- S, A, <7— X, SS,)und in den Nebendreiecken AS(7, ASS,
SS -s- SA A- AS 360" — (AS, -s- S,S — AS).
Aus den Voraussetzungenschließt man, daß in demeinen Falle S,A, S-j-SS,A,— A, SS,, in dem andernAS, -s- S,S — AS vonunveränderlicher Größe ist,
^ folglich u. s. w.
Wenn die Spitze S aufd em Lexell schen Kreis eL'A,S,mit A, zusammenfällt, so
wird der Bogen AS znr sphärischen Tangente dieses Kreises in A,(Planim. ß. 3, 5). Also ist die Fläche des sphärischen Dreiecks ASSdem doppelten Winkel (5, Anm.) gleich, welchen der Lexell'sche KreisSA,S, mit der Basis AS in A, bildet. Wenn die Basis AS, weicheeinen dem Winkel 0 eingeschriebenen Kreis ausschließend berührt, mit
*) Dieser Satz ist von Lexell entdeckt und sowohl durch Rechnung als auch durchConstruction bewiesen worden: Aotn Isotrop. 1781, I x. 112 (nicht Xovs, Avis, wiedurchgängig nach Legendre 6soin. Xoto X citirt wird). Einen direkten Beweisdesselben Satzes hat Euter gegeben. Bergt, unten 16. Der zugeordnete Satz ist «rstvon Sorlin (Gerg. Ann. 15 x. 362) gegeben worden.