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Fünftes Buch. Stereometrie.

Die Hauptkreise, welche durch die Eckpuncte eines sphärishenDreiecks normal zu den gegenüberliegenden Seiten gezogen werden, gehndurch einen Punct.*) Wie Planim. Z. 6, 9.

Oder: Die Bogen, welche die Spitzen eines sphärischen Dreiecksmit den Polen der gegenüberliegenden Seiten verbinden, gehn durcheinen Punct. Die Puncte, in welchen die Seiten eines sphärischenDreiecks von den Polaren der gegenüberliegenden Eckpuncte geschnittenwerden, liegen auf einem Hauptkreis, der Polare des vorhin erwähntenPunctes.**)

Oder: Wenn in einem sphärischen Viereck die gegenüberliegendenSeiten normal zu einander sind, so sind auch die Diagonalen normalzu einander. Wenn in einem sphärischen Viereck die Diagonalen je 80"betragen, so beträgt auch der sphärische Abstand der Puncte, in welchendie gegenüberliegenden Seiten sich schneiden, 90".***)

Itt. Ein sphärisches Viereck ASOS, welches durch eine Diago-nale AO in zwei sphärische Dreiecke getheilt wird, die nicht bloß gleich^ und ähnlich, sondern auch congruent sind, ist einsphärisches Parallelogramm, f) Die Dia-/ zonalen desselben halbiren einander in dem sphäri-

schen Centrum -8 des Parallelogramms.

Die Polarfigur eines sphärischen Parallelo-gramms ist ein concentrisches sphärisches Paralle-logramm. Denn der Hauptkreis, welcher durch dassphärische Centrum -8 geht und AS normal schnei-det, ist auch zu OO normal, und der Punct 8 hatvon AS und <7S gleiche sphärische Abstände. Diese Abstände ergänzendie sphärischen Abstände des Punctes 8 von den Polen L, O der Sei-ten AS und OS zu 90", folglich liegen L und O auf einem durch 8gehenden Hauptkreise so, daß L8 ----- 80. Ebenso liegen die Pole S,s der Seiten SO, SA auf einem durch 8 gehenden Hauptkreise so,paß S8 — 8S. Daher ist SSO// ein sphärisches Parallelogrammund concentrisch mit ASOS.

Wenn zwei folgende Winkel eines sphärischen Parallelogramms

*) Dieser Satz ist von Querret Gerg. Ann. 15 x. 87 und Schulz SphärikII, 47 durch Rechnung bewiesen worden. Den constructiven Beweis hat Gud er-mann nied. Sphärik 68 gegeben. Vergl. unten K. 5, 3.

*') Bobillier Gerg. Ann. 18 x. 195. Gudermann nied. Sphärik 69.

**'1 Joachimsthal nach Liersemann's Mittheilung in Grunert Archiv 32

p. 168.

ft) Enler blov. Aok. kstrop. X p. 57. Vergl. Schulz Sphärik I, 94 ff.Gudermann nied. Sphärik 78 ff.