tz. 4. Sphärik.

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gleich sind, so ist das sphärische Parallelogramm einem Kreis einge-schrieben ; wenn zwei folgende Seiten gleich sind, so ist es einem Kreisumgeschrieben (14).

Die gegenüberliegenden Seiten SO und SA, AS und OS schnei-den sich auf der Polare des sphärischen Centrums S. Bezeichnet manden Durchschnitt von SO und SA durch S, seinen Gegenpunct durchs, , so folgt aus der Congruenz der sphärischen Dreiecke SOS undSAS,, daß SS --- s,S — 90» ist.

Zwei folgende Eckpuncte des sphärischen Parallelogramms und dieGegenpuncte der beiden andern liegen auf einem Kreis. Denn von demHauptkreis, welcher durch S geht und die Seiten SO, SA halbirt, ha-ben die Puncte A, S einerseits, O, O andrerseits gleiche sphärische Ab-stände, also auch die Gegenpuncte O^, S, einerseits, A,, S, andrer-seits. Daher liegen 0, S, A,, S, und A, S, 0, , S, auf je einemKreise so, daß die beiden Kreise Gegenfiguren sind. Ebenso liegen S,O, S,, A, und S, A, S,, 0, auf Gegenkreisen.

Ueberhaupt haben zwei Gegenkreise, deren Puncte von einem Haupt-kreis (Aequator) beiderseits gleichweit abstehn, dieselben Eigenschaftenwie in der Planimetrie zwei Linien, deren Puncte von einer Geradenbeiderseits gleichweit abstehn. Wenn ein Hauptkreis einen Kreis schei-det, so schneidet er auch den Gegenkreis; der Bogen zwischen den beidenDurchschnittspuncten wird von dem Aequator halbirt, und der Haupt-kreis bildet mit den Gegenkreisen in den Durchschnittspuncten gleicheWinkel (Gegenwinkel, Wechselwinkel). Wenn zwei Hauptkreise durchdenselben Punct des Aequators gehn, so schneiden sie die Gegenkreise inden Eckpuncten eines sphärischen Parallelogramms. Wenn A ein Punctdes Kreises, SS ein Bogen des Gegenkreises ist, sobeträgt in dem von SS mit den HauptkreisbogenSA, AS gebildeten Dreieck die Summe der Winkelsoviel als die Summe der in dem Punct A gebil-deten Winkel d. i. 180». Wenn AS, OS gleicheBogen der Gegenkreise, und SO, SA Hauptkreis-bogen sind, so sind A, S, O, O Eckpuncte einessphärischen Parallelogramms, und die Summe der Winkel in dem vonden beiden Bogen der Gegenkreise und den beiden Bogen der Haupt-kreise gebildeten Viereck beträgt 360». Wenn OO, SS gleiche Bogendesselben Kreises sind, so haben die Vierecke ASOS, ASSS gleiche Flä-chen (Planim. tz. 9, 2); folglich haben auch die sphärischen DreieckeASO, ASS gleiche Flächen und denselben Exceß, nämlich den doppeltenvon dem Kreisbogen AS mit seiner sphärischen Sehne gebildeten Win-kel. Vergl. 13.