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Fünftes Buch. Stereometrie.
17. Unter den sphärischcn Dreiecken, welche zwei gegebene Seilen(,'U, AL enthalten, deren Summe 180" nicht erreicht, hat dasjenige diegrößte Fläche, in welchem die nicht gegebene Seite SO der Diameterdes umgeschriebenen Kreises ist.*) Unter den sphärischcn Dreiecken,welche zwei gegebene Winkel enthalten, deren Summe 180" übersteigt,hat dasjenige den kleinsten Perimeter, in welchem der nicht gegebeneWinkel dem Diameter des eingeschriebenen Kreises gleich ist.
Beweis. Man beschreibe durch die Gegenpuncte L, von A,
L den Kreis, dessen sphärischer Diameter <7die Seite <7A zu 180" ergänzt. Dazu ist er-forderlich, daß AS <s 180" — <7A oder 6U-j- AS < 180° (12, Anm.). Liegt 2) aufdem Kreise S^<7A^, so ist die Fläche AS22— A2U7 (13). Ist nun LA auf dem Bogen2 2)A so groß als <7A, so ist 27A <( 2)A, weilA, L — A,<7 > A^2), mithin ist die Fläche
ALL < AS2), ASL < AS<7. Dabei ist
in dem sphärischcn Dreieck AS<7 die Winkeldifferenz S -s- <7 — A —— Si -st 0 -st A,. Weil aber A^<7 ein sphärischer Diameter ist, soverschwindet — 2?^ -st <7 -st (13), also verschwindet S-st <7—A,und SO ist ein sphärischer Diameter des Kreises ASO.
Um den Zusatz, welchen die Polarfigur liefert, direct zu beweisen,beschreibe man in den gegebenen Winkel AOS den Kreis, dessen sphäri-scher Diameter den andern gegebenen Winkel zu 180" ergänzt. Dazuist es erforderlich, daß AOS größer ist als der Nebenwinkel des anderngegebenen Winkels (12, Anm.), daß also die Summe der gegebenenWinkel mehr als 180" beträgt. Dann theilt man
den sphärischcn Winkel AOSO, in die Nebendrei-ecke ASO und ASLH so, daß die Seiten AS undSO, den eingeschriebenen Kreis an den Endpunc-
^ ten eines Diameters berühren, mithin der Winkel
ASO, dem sphärischcn Diameter des eingeschrie-benen Kreises, der Winkel OSA dem zweiten ge-gebenen Winkel gleich ist. Wird nun demselbenKreise das sphärische Dreieck 0,2)L umgeschrie-ben, so haben ASO und 2)270 gleiche Perimeter(13), und der Winkel SLO, übertrifft den Win-
kel ASO, (12, Anm.). Macht man den Winkel S270, ----- ASO, , so
0> Legendre Usoiu. VII, 26. Vergl. Steiner Crelle I. 2 p. 63 und 24 p.tt)2. Der Zusatz war unbemerkt geblieben.