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Fünftes Buch. Stereometrie.

A/L". Diese letzter» Winkel sind einander gleich, weil die sphärischenDreiecke, welche A und A/ mit den sphärischen Centren der Kreise bil-den, gleich und ähnlich sind; also sind auch die erster» Winkel einan-der gleich.

16. Zwei sphärische Figuren einer Kugel, welche perspektivischliegen, sind homocyclisch (kreisverwaudt), d. h. vier Puncten der ei-nen Figur, die auf einem Kreis liegen, entsprechen vier Puncte der an-dern Figur, die ebenfalls auf einem Kreis liegen. Der Hanptkreis,dessen Ebene den Collineationspunct und das sphärische Centrum deseinen Kreises enthält, geht auch durch das sphärische Centrum des an-dern Kreises.

Beweis. Die Kugel wird von den Ebenen KAS, KL(7, K6D,KL.l in den Kreisen ALL'AH L6<."«', , LAA'L»' geschnitten,

so daß die von Kreisbogen gebildeten Vierecke ALM, A^LM' derReihe nach gleiche Winkel haben (15). Wenn nun L auf dem KreisALL? liegt, so ist die Summe von zwei nicht folgenden Winkeln desVierecks ASM der Summe der beiden andern Winkel gleich (tz. 4, 14.Vergl. Planim. ß. 4, 4). Dieselbe Gleichung findet zwischen den Win-keln des Vierecks A'LD'V/ statt, also liegt /A auf dem Kreis AtL'L".Ist AL der sphärische Diameter des Kreises AS(7, auf dessen Ebenesliegt, so ist A'S' ein sphärischer Diameter des Kreises A^L'6'H weil dervon A^L^ mit dem Kreis A'L^6" gebildete Winkel dem von AL mitdem Kreis AL(7 gebildeten Winkel gleich, also recht ist.

17. Ein Büschel von Kugeln, die einen Kreis gemein haben,wird von einem Kegel, auf welchem der gemeinschaftliche Kreis liegt, inKreisen geschnitten, welche parallel sind und stereographische Projektio-nen des gemeinschaftlichen Kreises aus dem Centrum des Kegels.*)

Beweis. Die Kugeln haben mit dem Kegel, dessen Centrum <8ist, den Kreis AL<7 gemein und werden vondem Kegel in den sphärischen Figuren A^O',^A"L"0", . . geschnitten, die mit AL<7 isogo-nal und homocyclisch, also Kreise sind. Aufder Ebene ALK liegen die Kreise ALS^AsiALL"A", . ., ALK und die Tangente desletztem KL; die Winkel 2AA'LH 2AA"S",..,2AKL sind gleich (Planim. Z. 4, 3), also dieGeraden A/L', A"L",.., KL parallel; u. s. w.Folglich sind die Ebenen Ä'S'(7, A"L"6", . .

*) Vergl. den Aufsatz de« Verf. Crelle I. 54 p. 165. Allgemeiner ist der von