Z. 6. Tetraeder und Parallelepiped.

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Beweis. Die gegenüberliegenden Kanten des Tetraeders AS<72)bestimmen 3 Schichten, mithin ein Parallelepiped, welches nicht nur demTetraeder AL272), sondern auch dem gleichen und ähnlichen Tetraeder2 llL'<? 2 > umgeschrieben ist (7). Diese Tetraeder liegen perspectivisch,so daß die Geraden SO', . . den Schwerpunct des TetraedersA2t<72) zur gemeinschaftlichen Mittehaben; daher liegen insbesondere dieCentren der Kreise.12)0 und A'2t'6",die Centren der Kugeln A2267) undA'2t'6'2)' so, daß die zwischen ihnenenthaltenen Strecken von dem Schwer-punct des Tetraeders halbirt werden.

Die Ebene, welche AS halbirt und6O normal schneidet, halbirt dieKante 6"2)' normal, u. s. w. Die Ebenen, welche die Kanten des Te-traeders A'2t'<7'2)' normal halbiren, gehn durch das Centrum der Ku-gel A'2>"672)' (tz. 3, 9). Also geht jede Ebene, welche eine Kante desTetraeders AS(72) z. B. AS halbirt und die gegenüberliegende Kante67) normal schneidet, durch das Centrum der Kugel A'S'6°2)2

8 . Die Höhen eines Tetraeders AS<72) — d. h. die Normalenaus den Eckpuucten A, s, . . zu den gegenüberliegenden Flächen WO,A(72), . . — gehn im Allgemeinen nicht durch einen Punct, sondernliegen auf einem durch 3 derselben bestimmten geradlinigen Hhperboloid(K, 1, 8). Auf demselben Hyperboloid liegen die Normalen der Flä-chen des Tetraeders, die durch deren Höhenpuncte gehn. Das Centrumdes Hyperboloids ist der gemeinschaftliche Punct der Ebenen (8), welchedurch die Mitten der Kanten des Tetraeders normal zu den jedesmalgegenüberliegenden Kanten gestellt sind.*)

Wenn 7/ der Höhenpunct des Dreiecks AS<7 ist, so sind A22, S/2,(727 von den durch A, S, <7 gehenden Höhen des Tetraeders die Nor-malprojectioneu auf die Ebene AS<7. Denn die Ebene, welche die durchA gehende Höhe projicirt, ist normal zu den Ebenen S6'2) und AS<7,folglich zu der Geraden S<7, u. s. w. Die durch 2/ gehende Normaleder Ebene AS<7 schneidet also die durch A, S, <7 gehenden Höhen desTetraeders und hat mit der durch 2) gehenden Höhe den unendlich fer-nen Punct gemein. U. s. w.

*) Steiner Crelle I. 2 p. 67 und syft. Entw. x. 310. Bergt. HermesCrelle I. 56 p. 241. Die Eigenschaft der Normalen zu den Flächen durch derenHöhenpuncte und die Lage des Centrums des Hyperboloids ist von Joachimsthalbemerkt worden. Grnnerl Archiv 32 p. 166.