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Fünftes Buch. Stereometrie.

Das Centrum des Hyperboloids liegt auf der Halbirenden d)esStreifens, dessen Schenkel zu den Geraden des Hyperboloids gehörten(7, Anm.). Ist nun ck die Normalprojection von 7) auf die Eberue-ll66, all die Mitte von ck6, so ist »ll die Norinalprojection des Cern-trums des Hyperboloids. Ist ferner 6 der Schwerpunkt des Dreieccks

-466, m das Centrum des Kreises -4616und die Norinalprojection des Centrunnsder Kugel -4666 auf die Ebene -46<6,so theilt 6 die Strecke 6»r nach dennVerhältniß 2 (Planim. ß. 12, 8). Nimnntman das Tetraeder -4'6'6'6^ hinziu,

^ welches mit ^4666 demselben Parallell-epiped eingeschrieben ist (7), so theilt 6

die Strecke Dill nach dem Verhältniß 2, und wenn man durch ^ düeNormalprojection von 6^ auf die Ebene -466 bezeichnet, so hat man:auch — 2. Daher sind und parallel und gleich, mmll

ivird vonhalbirt, also ist all die Normalprojection des Centrumsder Kugel-4/6'66' (8). Dieselben Bemerkungen gelten für jede Flächedes Tetraeders -4666, also ist das Hyperboloid mit der Kugel - 4 ' 6 ' 6 ' 6 »'coucentrisch.

tO. Wenn in einem Tetraeder eine Kante mit der gegenüberlie-genden einen rechten Winkel bildet, so liegen die durch ihre Endpunctegehenden Höhen des Tetraeders auf einer Ebene, und umgekehrt. Wennin einem Tetraeder zwei folgende Kanten mit den ihnen gegenüberliegen-den rechte Winkel bilden, so haben die Höhen des Tetraeders einenPunct gemein, und umgekehrt.*)

Beweis. Sind -4a, 6ö, 6c, 6a! die Höhen des Tetraeders

-4666, und ist 66 normal zu -46, so stehtdie Ebene 66<F normal zu -46, mithin normalzur Ebene -466, und enthält die Höhe 6o.Ebenso erkennt man, daß die Ebene -46S die§Höhe -4a enthält. Die Ebene der Höhen -4a.6S ist normal zu 66, die Ebene der Höher.6o, 6-7 ist normal zu -46, also sind dieseEbenen normal zu einander.

") Dieses Tetraeder kommt bei L'Huilier vor äs rslatioue mutus, x. 151,Bergt. Ferriot in Gera. Ann. 2 x. 133. Feuerbach die dreieckige Pyramidetz. 4V fs. C. F. A. Jacobi zu van Swinden x. 453 ff.