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Fünftes Buch. Stereometrie.

Hiernach sind die Tetraeder ASM und ASM einerlei oder eent-gegengesetzten Sinnes, je nachdem die Spitzen L und L auf derselbbenSeite in Bezug auf die Ebene ALL liegen oder nicht. In dem ersstenFalle wird die Strecke LL von der Ebene ALL außen getheilt, in doemzweiten Falle innen.

Wenn die Formeln ASM und A^LDM' Tetraeder von einerrleiSinn bezeichnen, so giebt die angezeigte Art der Vergleichung zu erken-nen, daß die durch die Formeln ALDO und A'L'L/A, ALLS mndA'L'LL', LAM und AML/A bezeichneten Tetraeder entgegengesetzsieuSinnes sind. Folglich wird durch gegenseitige Vertauschung von ztweiEckpuncten in der Formel des Tetraeders jedesmal der Sinn dessellbenverändert. *)

12 . Wenn jedem Punct einer Raumfigur ein Punct einer andremRaumfigur so entspricht, daß die Tetraeder ALM, ALM, . ., wellchevon drei Puncten der einen Figur mit den übrigen Puncten derselbenFigur gebildet werden, den entsprechenden Tetraedern der andern FigiurA'L^LL^, A^L'L^, . . der Reihe nach gleich und ähnlich sind, mndwenn die folgenden Tetraeder ALM, .. mit dem ersten ALM einer-lei oder entgegengesetzten Sinn haben, je nachdem A^L'LL', . . mitA/L^LlL^ von einerlei oder entgegengesetztem Sinne sind: so sind dieRaumfiguren ALML.. und AML'L'L? gleich und ähnlich, d. h.alle andern Tetraeder der einen Figur sind den entsprechenden Tetrae-dern der andern Figur gleich und ähnlich. Die Raumsiguren sind voneinerlei oder entgegengesetztem Sinne, je nachdem ein Paar entsprechendeTetraeder derselben von einerlei oder entgegengesetztem Sinne sind.**)

Beweis. Aus der Gleichheit und Aehnlichkeit der TetraederALM, ALM,., mit den entsprechenden Tetraedern schließt man, daßdie Tetraeder ALLS, AML, . . den entsprechenden Tetraedern gleichund ähnlich sind; aus der Gleichheit und Aehnlichkeit der TetraederLAM, LAM, . . folgt ebenso, daß die Tetraeder LALL, LML,. .den entsprechenden Tetraedern gleich und ähnlich sind, u. s. f.

13 . Zu zwei gleichen und ähnlichen Dreiecken von verschiedenerStellung ALL und A"L'6" giebt es eine Axe § von der Art, daß so-wohl die Flächenwinkel AsA', LsL', L>-L, als auch die Normalprojee-tionen der Strecken AA', LL^, LL' auf s einander gleich sind.***)

*) Möbius baryc. Calc. 19. Statik 63.

**) Vergl. Planem. Z. 7, 1 und die daselbst citirte Abhandlung (34).

***) Bergt. §. 35 der citirten Abhandlung.