Z, 6. Tetraeder und Parallelepiped.

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Beweis. Aus dem Centrum 0 einer beliebig gewählten Kugelziehe man die Radien 0/!, 0),, Och, 0/ in den Richtungen AS, A0,A'S', A'O' und construire den Punct a der Kugel, welcher so liegt, daßdie sphärischen Dreiecke und sch/ congruent sind (Z. 4, 18). Ziehtman nun AS und A'S' in der Richtung des Radius 0a, so^sind diean den Scheiteln A und A' gebildeten Ecken ASOS und A'S'O'S'congruent.

Ferner lege man durch A und A' die zu AI), A'S' normalen Ebe-nen, bilde auf denselben die Normalprojectionen SS und L'S' von SOund S'O', und auf der Ebene ALS die Normalprojection A"L"S" vonA'L'S'. Dann sind die Dreiecke ALS, A'L'S', A"L"S" gleich undähnlich und einerlei Sinnes, weil die Dreiecke ALS und A'L'S', ASOund A'S'O', A'L'S' und A"L"S" gleich und ähnlich, und die WinkelLAS und L'A'S" Normalschnitte der gleichen Flächenwinkel SA SO'und S'A'S'O" sind.

Construirt man endlich den Punct S der Ebene ALS, welcher soliegt, daß die Figuren SALS und SA"L"S" congruent sind (Plauim.tz. 7, 2), und bildet man auf der Ebene A'L'S' die NormalprojectionS' des Punctes S, so ist SS' die gesuchte Axe s. Denn die entspre-chenden Ecken an den Scheiteln A und A' sind congruent, die entspre-chenden Kanten derselben sind gleich, also sind die RaumfigurenALSSO und A'L'S'S'6' congruent. Zugleich sind die Figuren ALSO'und A'L'S'S' congruent, also sind die Raumfiguren ALSSOS undA'L'S'S'O'S' congruent (12), d. h. die Winkel ASL und A'S'L', ALSund A'S'S', LSS und L'S'S' sind gleich. Hieraus erkennt man dieGleichheit der Flächenwinkel ASS'A', SSS'S', OSS'O'. Wird die Ge-rade SS' von den Normalen aus S und S' in I' und 7" geschnitten,so ist SS S'I", folglich ?'7" ----- SS', u. s. W.

14 . Zu zwei gleichen und ähnlichen Raumfignren von einerleiSinn ASOS.. und A'S'O'S'.. giebt es eine Axe § von der Art,*)daß sowohl die Flächenwinkel AsA', SsL', . ., als auch die Normal-projectionen der Strecken AA', SS', .. auf .? einander gleich sind (13).

Wenn die erste Figur um die Axe § rotirend den Winkel AsA'zurücklegt, so wird sie mit der andern Figur perspectivisch, die GeradenAA', SS', . . werden nach Richtung und Länge übereinstimmend, denn

*) Die Axe s ist von Euter bei der Untersuchung der Bewegung eines starrenKörpers entdeckt worden, lblov. Ooinin. kstrop. 2t) p. 199. Tbsorin inotns oorp.8vliä. 978. Die augenblickliche Drehungsaxe tnxe instLntnn«) eines bewegten Kör-pers war von D'Alembert tkröesssion äss egninoxes 1749 x. 83) bemerktworden.

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