k. 6. Die Polyeder.
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hat die Auflösungen
4
a b s
3 4^' 24^
3 5 > 60
Ein solches Polyeder hat ^ «eckige und Leckige Flächen.
Anmerkung. Pappus und Keppler zählen 13 ArchimedischePolyeder, weil sie wegen ihrer Unbestimmtheit die 2neckigen Polyederweglassen, deren Ecken entweder jede von zwei Vierecken und einem »Eckoder jede von drei Dreiecken und einem »Eck eingeschlossen werden.
V. Für Polyeder, welche nur meckige Flächen haben, erhält mandie entsprechenden Resultate durch gegenseitige Vertauschung von s und/, «eckigen Flächen und «seitigen Ecken, und findet den Archimedischenpolar zugeordnete Polyeder mit dreieckigen, viereckigen, fünfeckigen Fla-chen. Unter diesen Polyedern find besonders die Rhomboeder mitmehrerlei Ecken* **) ) betrachtet worden; das ine von 12 Rhomben hat anjeder Fläche zwei dreiseitige und zwei vierseitige Ecken, das andere von30 Rhomben hat an jeder Fläche zwei dreiseitige und zwei fünfseitigeEcken.
6 . Nach andern als den oben angegebenen Bestimmungen sindPlatonische und Archimedische Polyeder nicht möglich. Die Realitäteines ganz oder zum Theil regulären Polyeders, dessen Bestimmungender Natur eines solchen nicht widersprechen, wird erkannt, indem maneine Kugelfläche durch Hauptkreise in ein sphärisches Polyeder theilt,dessen Polygone sphärisch sind und dieselbe Art, Anzahl, Reihenfolgehaben als die planen Polygone des zu construirenden Polyeders.
Dazu ist erforderlich, daß man aus einem willkürlich gewähltenPunct 0 der Kugel die Bogen , OA 2 , . . von gleicher Länge sozieht, daß die Winkel der Sehnen . . den Winkeln
der regulären planen Polygone gleich werden, die eine Ecke des Polye-ders einschließen.*') Dann enthalten die Ebenen A.OAz, . .
*) Keppler a. a. O. II, 27. Meier Hirsch a. a. O. p. 186.
**) Bezeichnet man den gesuchten Centriwinkel der gleichen Bogen 0^4,, 0^4?, -.durch die gesuchten Winkel der Bogen - - durch >4,, S?, .die
gegebenen Winkel der Sehnen >4,0^, . - durch 4,, 4?, . so bilden die
Sehnen mit dem von 0 ausgehenden Radius der Kugel den Winkel 90"—In, undman bat aus sphärisch-trigonomelrischen Gründen
«08jn — sinz,4, : 8inz4, — ..,