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Fünftes Buch. Stereometrie.

reguläre plane Polygone, die der Kugel eingeschrieben sind, und deerenSeiten eben so lang sind als die gleichen Sehnen OA,, 0A,, - - . ''DieEckpuncte dieser Polygone bestimmen wiederum reguläre sphärische ^Po-lygone, und zwar « «Ecke, jZ -Ecke, y «Ecke, die um den Punct 6) in

der gesuchten Weise liegen. In der That betragen ^ solche regulläre

sphärische «Ecke, ^ -Ecke, ^ -Ecke zusammen eine Kugelfläche. Sund

nämlich H,, Hz, Hz die Winkel der regulären sphärischen «Ecke, -Ecke,-Ecke, so hat die Fläche des «Ecks (tz. 4, 5) den Werth (a—2). IM",n. s. w. Es ist aber >5, II)

— (a — 2).18ll«s -st — 2).180"j

ch- - (-- -2).180«j

-- s«H, -st stH-i -st st -st 7-^ ^ — -^^.18(n^e

--- 4.18N", weil «H, -st stSz -st /Hz n 2.!8o".

Hiernach liegen alle Ecken eines Archimedeischen Polyeders auf ei-ner Kugel; die Ecken desselben, welche mit einer Ecke durch Kanten ver-bunden sind, liegen auf einer Ebene.

Zu einem Archimedeischen Polyeder findet man das polare, indemman durch die Eckpuncte die Ebenen legt, welche die umgeschriebeneKugel berühren. Wenn mehrere Eckpuncte auf einer Ebene liegen, sogehn die dazu gehörigen Taugentenebenen durch einen Punct (tz. 3, 6).Einem regulären «Eck entspricht daher eine reguläre aseitige Ecke, stattder »Zeitigen Ecken erhält man bestimmte »-eckige Flächen. Alle Flächendes polaren Polyeders berühren eine Kugel; die Flächen desselben,welche mit einer Fläche durch Kanten verbunden sind, haben (erweitert)einen Punct gemein.

Bei einem Platonischen Polyeder liegen die Eckpuncte auf einerKugel, während zugleich die Flächen eine concentrische Kugel berühren.Die Mitten der Flächen sind die Eckpuncte eines polaren Polyeders.

Anmerkung. Neben dem Platonischen Jcosaeder unv Dodecaedergiebt es noch ein Stern-Jcosaeder und Stern-Dodecaeder,jenes mit 12 fünfseitigen Ecken, deren Kugelschnitte reguläre sphärische

also

8111 z.'l, : 8111 >»2 : 8111 - 8Üizi, : 812^2 : 812^-2

nebst -st/SAz360". Vergl. Meier Hirsch a. a. O. x. Ist und 176.