Z. 6. Die Polyeder.
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Stern-Fünfecke sind, und die von regulären Dreiecken eingeschlossenwerden; dieses mit 20 dreiseitigen Ecken, die von regulären Stern-Fünfecken eingeschlossen werden. Außerdem kennt man zwei unei-gentliche (l, Anm.) reguläre Polyeder, beide mit 12 fünfteiligenEcken, deren Scheitel mit denen eines Platonischen Icosaeders zusam-menfallen und deren Kugelschnitte reguläre sphärische Stern-Fünfecke bei dem einen, gemeine Fünfecke bei dem andern sind; beidemit 12 Flächen, die bei dem einen reguläre gemeine Fünfecke, bei demandern Stern-Fünfecke sind; beide mit 30 Kanten.*) Varietäten derArchimedischen Polyeder sind zur Zeit nicht bekannt.
7 . Wenn das Polyeder « Ecken hat und seine Flächen Polygonesind, deren Perimeter sich selbst nicht schneiden, so beträgt die Summeder Polygonwinkel auf dem Polyeder (2e — 4). 180", doppelt sovielals die Summe der Winkel eines planen sEcks.**)
Beweis. Das Polyeder habe 1- Kanten und / Flächen, darun-ter eine «eckige, eine Lockige, .. . Die Summe der Winkel des planen«Ecks von der vorausgesetzten Beschaffenheit beträgt (« — 2). 180".Also beträgt die Summe der Winkel auf dem Polyeder (« -s- L s- . .- 2/). 180". Nun ist « -s- L die Anzahl dieser Winkel, welche21- beträgt, folglich (1)
« ö . . — 2/ 21' — 2/ ----- 2s —^ 4.
8 . Wenn das Polyeder / Flächen hat und seine Ecken Kugel-schnitte haben, deren Perimeter sich selbst nicht schneiden, so beträgt diedoppelte Summe seiner Flächenwinkel weniger die Summe seiner Ecken(2/ — 4). 180", doppelt soviel als die Summe der Winkel eines pla-nen /Ecks.*")
Beweis. Das Polyeder habe L Kanten und s Ecken, daruntereine «seitige, eine Lseitige, . . . Die Winkel der «fettigen Ecke habendie Summe«, u. s. w. Dann beträgt die «seitige Ecke «—(«—2). 180".Vergl. ß.4,5 und 8- 5, 2. Also hat die Summe n der Ecken des
*) Das Stern-Dodecaeder und das uneigentliche Polyeder von Stern-Fünfeckensind von Keppler 1619 (Harm. mrrnäi II, 26) zuerst beschrieben, und gezeichnet,die beiden andern regulären Polyeder von Poiusot 1809 (4. äs 1'Lo. xoFck. (lab.10 x. 39). Von den möglichen Varietäten d.er Platonischen Polyeder handeln außerPoinsot a. a. O. noch Canchy 4. äs I'Lo. xolxt. (Inlr. 16 p. 68 und Ber-trand 6ouij>t. renä. 1858 x. 79.
") Descartes und Euler a. a. O.
"*) Franyais Gerg. Ann. 3 x. 189. Grunert Crelle I. ö x. 41. Brian-chon 4. äs 1'so. poF-b. 6ulr. 25 p. 317. Den entsprechenden Satz für das Tetrae-der hatte De Gua bemerkt Mirr. äs kuris 1783 x. 369.