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Fünftes Buch. Stereometrie.

Polyeders den Werth « -j- st -s- . . — — 2s). 1810°.

Nun ist « -j- st -s- . . die doppelte Summe 2» der Flächenwinkel idesPolyeders, a -j- L . die doppelte Anzahl 24- der Polygonwimkeldes Polyeders, folglich

v ^ 2« - (21 — 2e).l80° --- 2u — (2/ — 4). 180°.Anmerkung. Bezeichnet man die Summe der Polygonwimkeldes Polyeders durch k, so ist

r --- (2e — 4). 180°

2u — o -- (2/ — 4). 180°

folglich

t -s- 2 u — r, -- (21 — 4).180°

doppelt soviel als die Summe der Winkel eines planen Ecks.

tz. 8. Cubatnr der Prismen und Pyramiden.

I. Wenn zwei Prismen (Cylinder) kongruente Normalschnitte u ndgleiche Längenkanten haben, so haben sie gleiche Volume.'")

Beweis. Die unbegrenzten Prismen, deren Segmente in Betrachtkommen, lassen sich wegen der Congruenz ihrer Normalschnitte (K. 5, 4)so vereinigen, daß ein Paar gleiche Pängenkanten z. B. in AL zusam-menfallen. Die Vergleichung der Volumeund beruht

nun auf der Vergleichung der Polyederund Die

Flächen ALOD und L'/'t?// sind kongruent,A ^ ebenso die Ecken -4 und L, L und 2^, 6 und

6, L> und //, dazu sind die Kanten LL' und t7<7^ und St?",

und ////' gleich, also sind die Polyeder ALS/-LOV1" undS"/? kongruent. Nach der Subtraktion dieser Polyeder vondem Polyeder behält man die gleichen Prismen

und

Anmerkung. Ein dreiseitiges Prisma ist halb so groß an Vo-lum als ein Parallelepiped, das mit ihm eine Ecke und die anliegendenKanten gemein hat. Denn das Parallelepiped wird durch ein Diago-nalparallelogramm in zwei dreiseitige Prismen getheilt, welche kongruente

*) Dieser Satz kommt bei Lnel. XI, 28 in dem Beweise vor. Den gebühren-den Rang hat er bei den Neuern erhalten z. B. Bretschneider Geom. K. 466,I. H. T. Müller Stereom. x. 93.