8. 8. Cubatur der Prismen und Pyramiden.

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Normalschnitte und gleiche Längenkanten, mithin gleiche Volume haben.Vergl. 8- 6, 6.

2 . Wenn zwei Parallelepipede gleiche Basen und gleiche Höhenhaben, so sind sie gleich an Volum.*)

Beweis. Die gleichen Basen ASM und der beiden

Parallelepipede und können, wenn z. B. >- XL ist, so aufeine Ebene gelegt werden, daß ^ auf A und ^ auf fällt. Danngeht die Gerade durch den Punct O, weil das Dreieck halbso groß ist als das Parallelogramm ALLV, mithin auch halb so großals das Parallelogramm Die den Basen gegenüberliegenden

Flächen und der Parallelepipede liegen auf einer

Ebene, weil die Parallelepipede gleicheHöhen haben. Die Kanten XI undXS' schneiden sich in L Die Ver-gleichung der Parallelepipede undberuht nun auf ihrer Vergleichung mitdem Parallelepiped s, dessen Basisund dessen gegenüberliegendeFläche LL.l/rV ist. Die Parallelepipedeund s sind Prismen von gleichemVolum (1), weil ihre Längenkanten gleichAO und ihre Normalschnitte congruentsind als Normalschnitte des vierseitigenPrisma, dessen Kanten /lO, KL, S.H und L/. Ebenso sind die Par-allelepipede und s Prismen von gleichem Volum, weil ihre Längen-kanten gleich XL' und ihre Normalschnitte congruent sind als Normal-schnitte des vierseitigen Prisma, dessen Kanten XL', ^V//', XSstAus den Gleichungen s und g folgt ^

Anmerkung. Wenn zwei dreiseitige Prismen gleiche Basen undgleiche Höhen haben, so sind sie gleich an Volum. Z. B. die dreiseiti-gen Prismen von gleichen Höhen, deren Basen die gleichen DreieckeALL? und AXX sind, haben gleiche Volume, weil sie halb so groß sindals die gleichen Parallelepipede x und ^ (1, Anm.).

3 . Wenn zwei Prismen (Cylinder) gleiche Höhen haben, so istdas Verhältniß ihrer Volume dem Verhältniß ihrer Basen gleich. Luel.XI, 32.

*) Luol. XI, 31. Die den Beweis wesentlich vereinfachende Zusammenlegungder Basen ist von I. H. T. Müller (Stereom. x. 96) angegeben worden.

Baktzer II. 2. Aufl. 15